次の文章を読み、下の問1～4に答えなさい。〔解答番号$\fbox{1}$～$\fbox{4}$〕

自然の長さが$l$のゴムひもの一端を天井に固定し、下端に質量$m$の小球Pをとりつける。いま、図のように、ゴムひもを折り曲げて、小球Pを天井から$\dfrac{l}{2}$だけ下の位置に一度静止させ、静かに放した。

ゴムひもは伸びているときにだけばねと同様に弾性力を及ぼし、そのばね定数は$k$である。また、たるんだゴムひもが小球Pの運動に影響することはないものとし、重力加速度の大きさを$g$とする。

• 問1 ゴムひもが自然の長さになった瞬間の小球Pの速さ$v_0$はいくらか。正しいものを、次の(1)～(8)から一つ選びなさい。$v_0=\fbox{1}$
  • (1) $\dfrac{\sqrt{gl}}{4}$
  • (2) $\dfrac{\sqrt{2gl}}{4}$
  • (3) $\dfrac{\sqrt{3gl}}{4}$
  • (4) $\dfrac{\sqrt{gl}}{2}$
  • (5) $\dfrac{\sqrt{5gl}}{4}$
  • (6) $\dfrac{\sqrt{2gl}}{2}$
  • (7) $\sqrt{gl}$
  • (8) $\sqrt{2gl}$
• 問2 小球Pの速さの最大値はいくらか。正しいものを、次の(1)～(6)から一つ選びなさい。$\fbox{2}$
  • (1) $\sqrt{gl}$
  • (2) $\sqrt{g\left(l+\dfrac{mg}{k}\right)}$
  • (3) $\sqrt{g\left(l+\dfrac{2mg}{k}\right)}$
  • (4) $\sqrt{2gl}$
  • (5) $\sqrt{2g\left(l+\dfrac{mg}{k}\right)}$
  • (6) $\sqrt{2g\left(l+\dfrac{2mg}{k}\right)}$
• 問3 小球Pがつり合いの位置(つり下げてPが静止する位置)を通過後、運動の最下点に達するまでの時間はいくらか。正しいものを、次の(1)～(6)から一つ選びなさい。$\fbox{3}$
  • (1) $\dfrac{\pi}{4}\sqrt{\dfrac{m}{k}}$
  • (2) $\dfrac{\pi}{2}\sqrt{\dfrac{m}{k}}$
  • (3) $\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$
  • (4) $2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$
  • (5) $\dfrac{\pi}{4}\sqrt{\dfrac{k}{m}}$
  • (6) $\dfrac{\pi}{2}\sqrt{\dfrac{k}{m}}$

次に、小球Pをつり合いの位置に静止させ、問1で求めた速さ$v_0$と同じ速さを鉛直下向きに初速として与えた。この後、小球Pが最高点に達したときには、ゴムひもはたるんでいた。

• 問4 小球Pが達する最高点の天井からの距離はいくらか。正しいものを、次の(1)～(6)から一つ選びなさい。$\fbox{4}$
  • (1) $\dfrac{1}{2}\left(l+\dfrac{mg}{k}\right)$
  • (2) $\dfrac{l}{2}+\dfrac{mg}{k}$
  • (3) $\dfrac{l}{2}+\dfrac{2mg}{k}$
  • (4) $l-\dfrac{2mg}{k}$
  • (5) $l-\dfrac{mg}{k}$
  • (6) $l-\dfrac{mg}{2k}$