滑らかな水平面上に質量$m$の小球Aと質量$M$の小球Bが置かれている。小球Aには長さ$L$の糸がつけられており、糸が鉛直にたるまない状態で上端を天井に固定した。いま、図のように、小球Aを左方に移動させて静かに放したところ、糸が鉛直となった瞬間に、小球Aは速さ$v_1$で小球Bに衝突した。小球AとBの衝突の反発係数(はねかえり係数)を$e$とし、小球A、Bの大きさは無視できるものとする。また、重力加速度の大きさを$g$とする。

• 問1 小球Bに衝突する直前に小球Aが受ける糸の張力の大きさはいくらか。正しいものを、次の(1)～(6)から一つ選びなさい。$\fbox{1}$
  • (1) $mg$
  • (2) $\dfrac{m{v_1}^2}{L}$
  • (3) $mg+\dfrac{m{v_1}^2}{2L}$
  • (4) $mg+\dfrac{2m{v_1}^2}{3L}$
  • (5) $mg+\dfrac{m{v_1}^2}{L}$
  • (6) $mg+\dfrac{2m{v_1}^2}{L}$
• 問2 衝突後の小球Bの速さはいくらか。正しいものを、次の(1)～(6)から一つ選びなさい。$\fbox{2}$
  • (1) $\dfrac{em}{M}v_1$
  • (2) $\dfrac{eM}{m}v_1$
  • (3) $\dfrac{(1-e)m}{M+m}v_1$
  • (4) $\dfrac{em}{M+m}v_1$
  • (5) $\dfrac{eM}{M+m}v_1$
  • (6) $\dfrac{(1+e)m}{M+m}v_1$
• 問3 衝突後、小球Aが図の左方に運動を始める場合の反発係数$e$の値の範囲はどのようになるか。正しいものを、次の(1)～(6)から一つ選びなさい。$\fbox{3}$
  • (1) $0\leqq e\lt\dfrac{m}{M}$
  • (2) $0\leqq e\lt\dfrac{M}{m}$
  • (3) $\dfrac{m}{M}\lt e\leqq1$
  • (4) $\dfrac{M}{m}\lt e\leqq1$
  • (5) $\dfrac{M}{2m}\lt e\lt\dfrac{2m}{M}$
  • (6) $\dfrac{m}{2M}\lt e\lt\dfrac{2M}{m}$
• 問4 衝突の瞬間に糸が切れて小球AとBが一体となって運動する場合を考える。このとき衝突で失われた力学的エネルギーがすべて熱に変換され、この熱がすべて小球AとBに吸収されるとすると、小球AとBの温度上昇はいくらか。正しいものを、次の(1)～(6)から一つ選びなさい。ただし、衝突前の小球AとBの温度は等しかったものとし、衝突後は全体が均一な温度になるとする。また、小球AとBの比熱をそれぞれ、$c_\text{A}$、$c_\text{B}$とする。$\fbox{4}$
  • (1) $\dfrac{Mm{v_1}\hspace{-.2em}^2}{2(M+m)(mc_\text{A}+Mc_\text{B})}$
  • (2) $\dfrac{Mm{v_1}\hspace{-.2em}^2}{(M+m)(mc_\text{A}+Mc_\text{B})}$
  • (3) $\dfrac{m{v_1}\hspace{-.2em}^2}{2(M+m)(c_\text{A}+c_\text{B})}$
  • (4) $\dfrac{M{v_1}\hspace{-.2em}^2}{2(M+m)(c_\text{A}+c_\text{B})}$
  • (5) $\dfrac{m{v_1}\hspace{-.2em}^2}{2(mc_\text{A}+Mc_\text{B})}$
  • (6) $\dfrac{M{v_1}\hspace{-.2em}^2}{2(mc_\text{A}+Mc_\text{B})}$