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獨協医科大学数学2013年第4問

方程式y=3x2+14xで定まる曲線をCとすると、曲線Cは2直線 x=y=x を漸近線にもつ。この曲線C上のすべての点が、原点を中心とする一定角の回転移動により、座標軸上に焦点をもつある双曲線上の点に移ることを確認しよう。
曲線C上の点P(x, y)を原点を中心に角θだけ回転させた点をQ(X, Y)とする。このとき、xyXYθを用いて表すと
x=y= となる。ただし、には、次の(1)~(8)の中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと。なお、同じ選択技を選んでもよいものとする。
  • (1)Xsinθ+Ycosθ
  • (2)Xcosθ+Ysinθ
  • (3)Xsinθ+Ycosθ
  • (4)Xcosθ+Ysinθ
  • (5)XsinθYcosθ
  • (6)XcosθYsinθ
  • (7)XsinθYcosθ
  • (8)XcosθYsinθ
(*)を曲線Cの方程式に代入して得られるXYの関係式を lX2+mXY+nY2+1=0(lmnXYを含まない式) という形に整理すると m=sin(2θα) と表せる。ただし、αcosα=, sinα=, 0<α<π2 を満たす角とする。そして、m=0となるθの値を0<α<π2の範囲で求めると θ=α であり、このとき、XYの満たす関係式は X2y2=1 となる。
ここで、方程式x2y2=1で表される曲線Cは双曲線であり、曲線Cの焦点の座標は (0,), (0,) である。
以上より、曲線C上のすべての点は、原点を中心に角αだけ回転させると、y軸上に焦点をもつ双曲線C上の点に移ることがわかる。