方程式$y=\dfrac{3x^2+1}{4x}$で定まる曲線を$C$とすると、曲線$C$は2直線 \[x=\fbox{ア}、y=\dfrac{\fbox{イ}}{\fbox{ウ}}x\] を漸近線にもつ。この曲線$C$上のすべての点が、原点を中心とする一定角の回転移動により、座標軸上に焦点をもつある双曲線上の点に移ることを確認しよう。
曲線$C$上の点$\text{P}(x,~y)$を原点を中心に角$\theta$だけ回転させた点を$\text{Q}(X,~Y)$とする。このとき、$x$、$y$を$X$、$Y$、$\theta$を用いて表すと
\[x=\fbox{エ}、y=\fbox{オ}\tag{*}\label{aa}\] となる。ただし、$\fbox{エ}$、$\fbox{オ}$には、次の(1)~(8)の中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと。なお、同じ選択技を選んでもよいものとする。

• (1)$X\sin \theta+Y\cos \theta$
• (2)$X\cos \theta+Y\sin \theta$
• (3)$-X\sin \theta+Y\cos \theta$
• (4)$-X\cos \theta+Y\sin \theta$
• (5)$X\sin \theta-Y\cos \theta$
• (6)$X\cos \theta-Y\sin \theta$
• (7)$-X\sin \theta-Y\cos \theta$
• (8)$-X\cos \theta-Y\sin \theta$

$\eqref{aa}$を曲線$C$の方程式に代入して得られる$X$と$Y$の関係式を \[lX^2+mXY+nY^2+1=0(l、m、n\text{は}X、Y\text{を含まない式})\] という形に整理すると \[m=\fbox{カ}\sin(2\theta -\alpha)\] と表せる。ただし、$\alpha$は \[\cos \alpha=\dfrac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}},~\sin \alpha=\dfrac{\fbox{ケ}}{\fbox{コ}},~0\lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2}\] を満たす角とする。そして、$m=0$となる$\theta$の値を$0\lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2}$の範囲で求めると \[\theta=\dfrac{\fbox{サ}}{\fbox{シ}}\alpha\] であり、このとき、$X$と$Y$の満たす関係式は \[\fbox{ス}X^2-y^2=-1\] となる。
ここで、方程式$\fbox{ス}x^2-y^2=-1$で表される曲線$C'$は双曲線であり、曲線$C'$の焦点の座標は \[\left(0,-\dfrac{\sqrt{\fbox{セ}}}{\fbox{ソ}}\right),~\left(0,\dfrac{\sqrt{\fbox{セ}}}{\fbox{ソ}}\right)\] である。
以上より、曲線$C$上のすべての点は、原点を中心に角$\dfrac{\fbox{サ}}{\fbox{シ}}\alpha$だけ回転させると、$y$軸上に焦点をもつ双曲線$C'$上の点に移ることがわかる。