獨協医科大学数学2013年第4問
方程式y=3x2+14xで定まる曲線をCとすると、曲線Cは2直線
x=ア、y=イウx
を漸近線にもつ。この曲線C上のすべての点が、原点を中心とする一定角の回転移動により、座標軸上に焦点をもつある双曲線上の点に移ることを確認しよう。
曲線C上の点P(x, y)を原点を中心に角θだけ回転させた点をQ(X, Y)とする。このとき、x、yをX、Y、θを用いて表すと
x=エ、y=オ となる。ただし、エ、オには、次の(1)~(8)の中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと。なお、同じ選択技を選んでもよいものとする。
ここで、方程式スx2−y2=−1で表される曲線C′は双曲線であり、曲線C′の焦点の座標は (0,−√セソ), (0,√セソ) である。
以上より、曲線C上のすべての点は、原点を中心に角サシαだけ回転させると、y軸上に焦点をもつ双曲線C′上の点に移ることがわかる。
曲線C上の点P(x, y)を原点を中心に角θだけ回転させた点をQ(X, Y)とする。このとき、x、yをX、Y、θを用いて表すと
x=エ、y=オ となる。ただし、エ、オには、次の(1)~(8)の中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと。なお、同じ選択技を選んでもよいものとする。
- (1)Xsinθ+Ycosθ
- (2)Xcosθ+Ysinθ
- (3)−Xsinθ+Ycosθ
- (4)−Xcosθ+Ysinθ
- (5)Xsinθ−Ycosθ
- (6)Xcosθ−Ysinθ
- (7)−Xsinθ−Ycosθ
- (8)−Xcosθ−Ysinθ
ここで、方程式スx2−y2=−1で表される曲線C′は双曲線であり、曲線C′の焦点の座標は (0,−√セソ), (0,√セソ) である。
以上より、曲線C上のすべての点は、原点を中心に角サシαだけ回転させると、y軸上に焦点をもつ双曲線C′上の点に移ることがわかる。