関数$f(x)$は$x\gt -\dfrac{1}{3}$の範囲で定義され、第2次導関数$f’’(x)$をもち、関係式 \[f(x)=2x+\displaystyle\int_0^x(4x-7t)f’(t)dt\tag{*}\label{ab}\] を満たしている。このような関数$f(x)$を求めよう。
$\eqref{ab}$より \[f(0)=\fbox{ア}\] である。
また、$\eqref{ab}$の両辺を$x$で微分して整理すると \[f’(x)=\fbox{イ}\displaystyle\int_0^x f’(t)dt-\fbox{ウ}xf’(x)+\fbox{エ}\tag{**}\label{ac}\] となり、これより \[f'(0)=\fbox{オ}\] である。そして、$\eqref{ac}$の両辺を$x$で微分して整理することにより \[\left(\fbox{カ}+\fbox{キ}x\right)f’’(x)=f’(x)\]を得る。
よって、$f'(x)$は積分定数$C$を用いて \[\log\left|f'(x)\right|=\dfrac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}\log\left|\fbox{コ}+\fbox{サ}\right|+C\] と表されるので、このことを利用して$f(x)$を求めると \[f(x)=\dfrac{\fbox{シ}}{\fbox{ス}}\left(\fbox{セ}+\fbox{ソ}x\right)^{\frac{\fbox{タ}}{\fbox{チ}}}-\dfrac{\fbox{ツ}}{\fbox{テ}}\] となる。