獨協医科大学数学2013年第5問
関数f(x)はx>−13の範囲で定義され、第2次導関数f″(x)をもち、関係式
f(x)=2x+∫x0(4x−7t)f′(t)dt
を満たしている。このような関数f(x)を求めよう。
(*)より f(0)=ア である。
また、(*)の両辺をxで微分して整理すると f′(x)=イ∫x0f′(t)dt−ウxf′(x)+エ となり、これより f′(0)=オ である。そして、(**)の両辺をxで微分して整理することにより (カ+キx)f″(x)=f′(x)を得る。
よって、f′(x)は積分定数Cを用いて log|f′(x)|=クケlog|コ+サ|+C と表されるので、このことを利用してf(x)を求めると f(x)=シス(セ+ソx)タチ−ツテ となる。
(*)より f(0)=ア である。
また、(*)の両辺をxで微分して整理すると f′(x)=イ∫x0f′(t)dt−ウxf′(x)+エ となり、これより f′(0)=オ である。そして、(**)の両辺をxで微分して整理することにより (カ+キx)f″(x)=f′(x)を得る。
よって、f′(x)は積分定数Cを用いて log|f′(x)|=クケlog|コ+サ|+C と表されるので、このことを利用してf(x)を求めると f(x)=シス(セ+ソx)タチ−ツテ となる。