兵庫医科大学数学2013年第1問
次の(1)から(5)までの各問いの$( )$に当てはまる数値、または式を求めよ。
- (1) $a$、$b$、$c$、$d$が互いに異なり、0でない実数のとき、 \[\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{d}\] が成立するなら、$\dfrac{ab+bc+cd+da}{da}$の値は$( )$である。
- (2) $\tan \dfrac{\theta}{2}=\dfrac{2}{5}$のとき、$\dfrac{1+\cos\theta+2\sin\theta}{1-\cos\theta+2\sin\theta}$の値は$( )$である。
- (3) 定数$a$の範囲が$p\lt a\lt q$であれば、すべての実数$x$に対して不等式 \[2^{x^2+8\log_a 4}\gt a^x\] が成立するとき、$p+q$の値は$( )$である。
- (4) $\angle{\text{C}}$が直角である三角形の紙$\text{ABC}$がある。2辺$\text{BC}$、$\text{CA}$の長さをそれぞれ$a$、$b$とし、辺$\text{AB}$の中点$\text{M}$と点$\text{C}$を結ぶ線分$\text{CM}$に沿ってこの紙の平面$\text{BCM}$部分を直角に折り曲げる。すなわち、点$\text{B}$が点$\text{D}$に移動し、折り曲げられた平面$\text{DCM}$と元の平面$\text{ACM}$が直交するようにする。このとき、ベクトル$\overrightarrow{\text{CA}}$、$\overrightarrow{\text{CD}}$の内積は$( )$である。
- (5) 曲線$y=x^3-4ax^2+6x-4$と$y=-2x^2+22x-24$が点$\text{P}$で接するように定数$a$を定め、その接点$\text{P}$の$x$座標が$p$であるとき、2つの曲線の交点$\text{Q}$の$x$座標が$q$に、点$\text{P}$、$\text{Q}$間の2つの曲線で囲まれる部分の面積が$S$になるとすれば、$\dfrac{S}{a(p-q)}$の値は$( )$である。