兵庫医科大学数学2013年第1問

次の(1)から(5)までの各問いの

$( )$ に当てはまる数値、または式を求めよ。

(1) $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ が互いに異なり、0でない実数のとき、 $\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{d}$ が成立するなら、 $\dfrac{ab+bc+cd+da}{da}$ の値は $( )$ である。
(2) $\tan \dfrac{\theta}{2}=\dfrac{2}{5}$ のとき、 $\dfrac{1+\cos\theta+2\sin\theta}{1-\cos\theta+2\sin\theta}$ の値は $( )$ である。
(3) 定数 $a$ の範囲が $p\lt a\lt q$ であれば、すべての実数 $x$ に対して不等式 $2^{x^2+8\log_a 4}\gt a^x$ が成立するとき、 $p+q$ の値は $( )$ である。
(4) $\angle{\text{C}}$ が直角である三角形の紙 $\text{ABC}$ がある。2辺 $\text{BC}$ 、 $\text{CA}$ の長さをそれぞれ $a$ 、 $b$ とし、辺 $\text{AB}$ の中点 $\text{M}$ と点 $\text{C}$ を結ぶ線分 $\text{CM}$ に沿ってこの紙の平面 $\text{BCM}$ 部分を直角に折り曲げる。すなわち、点 $\text{B}$ が点 $\text{D}$ に移動し、折り曲げられた平面 $\text{DCM}$ と元の平面 $\text{ACM}$ が直交するようにする。このとき、ベクトル $\overrightarrow{\text{CA}}$ 、 $\overrightarrow{\text{CD}}$ の内積は $( )$ である。
(5) 曲線 $y=x^3-4ax^2+6x-4$ と $y=-2x^2+22x-24$ が点 $\text{P}$ で接するように定数 $a$ を定め、その接点 $\text{P}$ の $x$ 座標が $p$ であるとき、2つの曲線の交点 $\text{Q}$ の $x$ 座標が $q$ に、点 $\text{P}$ 、 $\text{Q}$ 間の2つの曲線で囲まれる部分の面積が $S$ になるとすれば、 $\dfrac{S}{a(p-q)}$ の値は $( )$ である。