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順天堂大学数学2012年第1問

四角に適する解答をマークせよ。ただし、それぞれの問題で同じ記号の四角には同一の値がはいる。
  • (1) さいころを3回投げたとき、出た目の積について確率を考える。

    3の倍数になる確率はアイウエであり、奇数でかつ3の倍数にならない確率はカキである。これなどによって、6の倍数になる確率はクケコサシスである。

  • (2) y=|ax2+bx+c|+dx2+ex+fは、区間[アイ, ]ではy=(x+1)(x5)となり、それ以外の区間ではy=3(x+1)(x1)となる。
    このときa=b=オカc=キクd=e=f=である。
  • (3) x軸を準線としy=x(3, 3)で接している放物線がある。焦点の座標は(,)であり、放物線の方程式をy=ax2+bx+cとすると、a=b=c=である。
  • (4) 行列Aと行列B=(11)の積がAB=(2323)となり、行列Aと行列C=(11)の積が、AC=(4323)となる。このときA(B+C)=()であり、A(BC)=(ウエ)であるので、 A=(ケコ)である。
    行列D=(73)=B+Cであることに注意すると、AD=()となる。A2D,A3D,A4D,と求めていくとB+C=()に近づいていく。
  • (5) y=x2で表される放物線上の点A(t, t2)における法線の方程式はy=12tx+12+t2と表される。同様に(t+h, (t+h)2)における法線をとり、二つの法線の交点を考える。h0としたときの交点を、点Aの曲率中心と呼ぶ。点A(t, t2)での曲率中心は(x(t), y(t))=(atb, ctd+e)と おくと、a=アイb=c=d=e=であり、20(dxdt)2+(dydt)2dt=クケであり、これはt0から、2まで動かしたときの曲率中心の軌跡の長さを表している。