順天堂大学数学2012年第1問
四角に適する解答をマークせよ。ただし、それぞれの問題で同じ記号の四角には同一の値がはいる。
- (1) さいころを3回投げたとき、出た目の積について確率を考える。
3の倍数になる確率は$\dfrac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウエ}}$であり、奇数でかつ3の倍数にならない確率は$\dfrac{\fbox{オ}}{\fbox{カキ}}$である。これなどによって、6の倍数になる確率は$\dfrac{\fbox{クケコ}}{\fbox{サシス}}$である。
- (2) $y=|ax^2+bx+c|+dx^2+ex+f$は、区間$\Big[\fbox{アイ},~\fbox{ウ}\Big]$では$y=-(x+1)(x-5)$となり、それ以外の区間では$y=3(x+1)(x-1)$となる。
このとき$a=\fbox{エ}$、$b=\fbox{オカ}$、$c=\fbox{キク}$、$d=\fbox{ケ}$、$e=\fbox{コ}$、$f=\fbox{サ}$である。 - (3) $x$軸を準線とし$y=x$に$(3,~3)$で接している放物線がある。焦点の座標は$(\fbox{ア},\fbox{イ})$であり、放物線の方程式を$y=ax^2+bx+c$とすると、$a=\dfrac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}$、$b=\fbox{オ}$、$c=\dfrac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}$である。
- (4) 行列$A$と行列$B=\dbinom{1}{1}$の積が$AB=\dbinom{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{2}{3}}$となり、行列$A$と行列$C=\dbinom{1}{-1}$の積が、$AC=\dbinom{\dfrac{4}{3}}{\dfrac{-2}{3}}$となる。このとき$A(B+C)=\dbinom{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}$であり、$A(B-C)=\dbinom{\dfrac{\fbox{ウエ}}{\fbox{オ}}}{\dfrac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}}$であるので、
\[
A=
\begin{pmatrix}
\fbox{ク} & \dfrac{\fbox{ケコ}}{\fbox{サ}} \\
\fbox{シ} & \dfrac{\fbox{ス}}{\fbox{セ}}
\end{pmatrix}
\]である。
行列$D=\dbinom{7}{3}=\fbox{ソ}B+\fbox{タ}C$であることに注意すると、$AD=\dbinom{\fbox{チ}}{\fbox{ツ}}$となる。$A^2D,A^3D,A^4D,\cdots$と求めていくと$\fbox{テ}B+\fbox{ト}C=\dbinom{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}}$に近づいていく。 - (5) $y=x^2$で表される放物線上の点$\text{A}(t,~t^2)$における法線の方程式は$y=-\dfrac{1}{2t}x+\dfrac{1}{2}+t^2$と表される。同様に$(t+h,~(t+h)^2)$における法線をとり、二つの法線の交点を考える。$h\to0$としたときの交点を、点$\text{A}$の曲率中心と呼ぶ。点$\text{A}(t,~t^2)$での曲率中心は$(x(t),~y(t))=(at^b,~ct^d+e)$と おくと、$a=\fbox{アイ}$、$b=\fbox{ウ}$、$c=\fbox{エ}$、$d=\fbox{オ}$、$e=\dfrac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}$であり、$\displaystyle\int_0^{\sqrt{2}}\sqrt{\bigg(\frac{dx}{dt}\bigg)^2+\bigg(\frac{dy}{dt}\bigg)^2}dt=\fbox{クケ}$であり、これは$t$を$0$から、$\sqrt2$まで動かしたときの曲率中心の軌跡の長さを表している。