順天堂大学数学2012年第1問
四角に適する解答をマークせよ。ただし、それぞれの問題で同じ記号の四角には同一の値がはいる。
- (1) さいころを3回投げたとき、出た目の積について確率を考える。
3の倍数になる確率はアイウエであり、奇数でかつ3の倍数にならない確率はオカキである。これなどによって、6の倍数になる確率はクケコサシスである。
- (2) y=|ax2+bx+c|+dx2+ex+fは、区間[アイ, ウ]ではy=−(x+1)(x−5)となり、それ以外の区間ではy=3(x+1)(x−1)となる。
このときa=エ、b=オカ、c=キク、d=ケ、e=コ、f=サである。 - (3) x軸を準線としy=xに(3, 3)で接している放物線がある。焦点の座標は(ア,イ)であり、放物線の方程式をy=ax2+bx+cとすると、a=ウエ、b=オ、c=カキである。
- (4) 行列Aと行列B=(11)の積がAB=(2323)となり、行列Aと行列C=(1−1)の積が、AC=(43−23)となる。このときA(B+C)=(アイ)であり、A(B−C)=(ウエオカキ)であるので、
A=(クケコサシスセ)である。
行列D=(73)=ソB+タCであることに注意すると、AD=(チツ)となる。A2D,A3D,A4D,⋯と求めていくとテB+トC=(ナニ)に近づいていく。 - (5) y=x2で表される放物線上の点A(t, t2)における法線の方程式はy=−12tx+12+t2と表される。同様に(t+h, (t+h)2)における法線をとり、二つの法線の交点を考える。h→0としたときの交点を、点Aの曲率中心と呼ぶ。点A(t, t2)での曲率中心は(x(t), y(t))=(atb, ctd+e)と おくと、a=アイ、b=ウ、c=エ、d=オ、e=カキであり、∫√20√(dxdt)2+(dydt)2dt=クケであり、これはtを0から、√2まで動かしたときの曲率中心の軌跡の長さを表している。