座標平面において、直線の方程式$4x+3y-5=0$について考える。この直線上に始点と終点を持つすべてのベクトルはベクトル$\vec{a}=(4,~\fbox{ア})$と直交する。原点$\text{O}$を始点としてこの直線上に終点を持つベクトルを$\vec b$とおくと、$\vec{a}\cdot\vec{b}=\fbox{イ}$となる。ここで点$\text{C}(1,~-1)$、$\vec{c}=\overrightarrow{\text{OC}}$とおく。$\text{C}$を始点とし、終点をこの直線上に持つベクトルで長さが1番短いベクトルを考える。このとき、その終点の位置ベクトルは$\vec c+t\vec a$という形をしているので、$t=\dfrac{\fbox{ウ}}{\fbox{エオ}}$と求まる。 したがって、点$\text{C}$とこの直線との距離は$\dfrac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}$ である。

次に、座標空間において$\vec d=(1,~-1,~2)$、$\vec e=(1,~2,~-2)$、 $\vec p=(3,~1,~1)$とおく。ここで、任意の実数$k$で$k\vec{d}$で表されるベクトルの終点の全体は、原点を通る直線を表す。また、$\vec p+k\vec e$は、点$(3,~1,~1)$を通る直線を表す。この2つの直線から1点ずつを取り、その2点を結んだ線分を考える。そのような線分の長さの最小値をこの2直線の距離と呼ぶことにしよう。ここで、$\vec d$と$\vec e$に直交するようなベクトル$\vec f=(1,~\fbox{クケ},~\dfrac{\fbox{コサ}}{\fbox{シ}})$を取る。すると、$\vec f\cdot\vec p=\dfrac{\fbox{スセ}}{\fbox{ソ}}$となる。したがって、この2直線の距離は$\dfrac{\sqrt{\fbox{タチ}}}{\fbox{ツテ}}$となる。