関西医科大学数学2013年第1問

(1)~(6)の四角の中に、あてはまる数、角度、整式、不等式、記号、語句などを記入せよ。

(1)$\alpha$、$\beta$が$\alpha +\beta =3$、$\alpha \beta=1$を満たすとき、$α^3+β^3=\fbox{ア}$、$\dfrac{\beta}{\alpha}+\dfrac{\alpha}{\beta}=\fbox{イ}$、$|\alpha -\beta|=\fbox{ウ}$である。ただし、記号$|a|$は実数$a$の絶対値を表す。
(2)次の式を因数分解せよ。
- (i) $9x^2-30xy-24y^2=\fbox{エ}$
- (ii) $(x+y)^3-(x-y)^3=\fbox{オ}$
(3)方程式$8^x-2^{2x+1}-2^x+2=0$のすべての解を$\fbox{カ}$に記せ。
(4)$x+2y=4$、$x\geqq 0$、$y\geqq 0$とする。このとき関数$\log_{\frac{1}{2}}(6xy+4y^2+1)$は、$x=\fbox{キ}$において最大値$\fbox{ク}$をとり、$x=\fbox{ケ}$において最小値$\fbox{コ}$をとる。
(5)座標平面において、動点$\text{P}(x,~y)$が2点$\text{A}(0,~0)$、$\text{B}(0,~3)$からの距離の比を$2:1$に保ちながら動くときの軌跡を$C$とする$(\text{PA}:\text{PB}=2:1)$。曲線$C$の方程式は$\fbox{サ}$である。また、第1象限において、直線$y=mx$と曲線$C$とが接するとき、$m=\fbox{シ}$となる。
(6)白玉4個、赤玉4個、青玉4個の計12個の玉が入っている袋から、よくかき混ぜて、同時に3個の玉を取り出す。このとき、
- (i)取り出した3個がすべて同じ色である確率は$\fbox{ス}$である。
- (ii)取り出した3個のうち2個が同じ色で、他の1個が異なる色である確率は$\fbox{セ}$である。