$a$、$b$は実数、$n$は自然数とし、行列$A=\begin{pmatrix}a+3b&2b\\-4b&a-3b\end{pmatrix}$、および$P=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}$を考える。

• (1) 行列$P^{-1}$および$P^{-1}AP$を求めよ。ただし、$P^{-1}$は$P$の逆行列を表す。
• (2) 行列$A^n$を求めよ。
• (3) $A^n=\begin{pmatrix}p_n&q_n\\r_n&s_n\end{pmatrix}$と表す。$n\to\infty$のとき、4つの数列{$p_n$}、{$q_n$}、{$r_n$}、{$s_n$}がすべて収束するための必要十分条件を$a$、$b$を用いて表せ。 そして、その条件を満たす点$(a, b)$全体の集合を座標平面上に図示せよ。