川崎医科大学数学2013年第1問

(1) 次の規則により、点Pがx軸上を動くゲームがある。
最初、原点に点Pがあり、点Pは各ステップ毎に、23の確率でx軸上を+1進み、13の確率で、x軸上を−1進む。最初からnステップ後の点Pのx座標をxnとし、初めて|xn|=2となったときにゲームは終了する。
また、xn=0となる確率をpn、初めて|xn|=2となる確率をqnとする。
- (i) $p_2=\dfrac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}$ 、 $p_3=\fbox{ウ}$ 、 $p_4=\dfrac{\fbox{エオ}}{\fbox{カキ}}$ である。
- (ii) $q_2=\dfrac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}$ 、 $q_3=\fbox{コ}$ 、 $q_4=\dfrac{\fbox{サシ}}{\fbox{スセ}}$ である。
- (iii) 3以上の任意の整数 $n$ について、 $p_n=\dfrac{\fbox{ソ}}{\fbox{タ}}p_{n-2},~q_n=\dfrac{\fbox{チ}}{\fbox{ツ}}p_{n-2}$ が成り立つ。
- (iv) 最初から6ステップまでにゲームが終了する確率は $\dfrac{\fbox{テトナ}}{\fbox{ニヌネ}}$ である。
(2) $\triangle{\text{OAB}}$ の辺 $\text{OB}$ の中点を $\text{M}$ とし、線分 $\text{AM}$ 上に点 $\text{K}$ を $\text{AK}:\text{KM}=3:2$ となるようにとる。辺 $\text{OA}$ 上に点 $\text{P}$ 、辺 $\text{OB}$ 上に点 $\text{Q}$ があり、線分 $\text{PQ}$ 上に点 $\text{K}$ があるとする。また、 $x\gt 0$ 、 $y\gt 0$ とし、 $\text{OP}:\text{PA}=x:1-x,~\text{OQ}:\text{QB}=y:1-y$ とする。このとき、 $xy-\dfrac{\fbox{ノハ}}{\fbox{ヒフ}}x-\dfrac{\fbox{ヘ}}{\fbox{ホ}}y=\fbox{マ}$ が成り立つ。また、 $\triangle{\text{OPQ}}$ の面積は $x=\dfrac{\fbox{ミ}}{\fbox{ム}}$ 、 $y=\dfrac{\fbox{メ}}{\fbox{モ}}$ のとき最小となる。