川崎医科大学数学2013年第1問
- (1) 次の規則により、点$\text{P}$が$x$軸上を動くゲームがある。
最初、原点に点$\text{P}$があり、点$\text{P}$は各ステップ毎に、$\dfrac{2}{3}$の確率で$x$軸上を$+1$進み、$\dfrac{1}{3}$の確率で、$x$軸上を$-1$進む。最初から$n$ステップ後の点$\text{P}$の$x$座標を$x_n$とし、初めて$|x_n|=2$となったときにゲームは終了する。
また、$x_n=0$となる確率を$p_n$、初めて$|x_n|=2$となる確率を$q_n$とする。- (i) $p_2=\dfrac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}$、$p_3=\fbox{ウ}$、$p_4=\dfrac{\fbox{エオ}}{\fbox{カキ}}$である。
- (ii) $q_2=\dfrac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}$、$q_3=\fbox{コ}$、$q_4=\dfrac{\fbox{サシ}}{\fbox{スセ}}$である。
- (iii) 3以上の任意の整数$n$について、 \[p_n=\dfrac{\fbox{ソ}}{\fbox{タ}}p_{n-2},~q_n=\dfrac{\fbox{チ}}{\fbox{ツ}}p_{n-2}\] が成り立つ。
- (iv) 最初から6ステップまでにゲームが終了する確率は$\dfrac{\fbox{テトナ}}{\fbox{ニヌネ}}$である。
- (2)$\triangle{\text{OAB}}$の辺$\text{OB}$の中点を$\text{M}$とし、線分$\text{AM}$上に点$\text{K}$を$\text{AK}:\text{KM}=3:2$となるようにとる。辺$\text{OA}$上に点$\text{P}$、辺$\text{OB}$上に点$\text{Q}$があり、線分$\text{PQ}$上に点$\text{K}$があるとする。また、$x\gt 0$、$y\gt 0$とし、 \[\text{OP}:\text{PA}=x:1-x,~\text{OQ}:\text{QB}=y:1-y\] とする。このとき、 \[xy-\dfrac{\fbox{ノハ}}{\fbox{ヒフ}}x-\dfrac{\fbox{ヘ}}{\fbox{ホ}}y=\fbox{マ}\] が成り立つ。また、$\triangle{\text{OPQ}}$の面積は$x=\dfrac{\fbox{ミ}}{\fbox{ム}}$、$y=\dfrac{\fbox{メ}}{\fbox{モ}}$のとき最小となる。