川崎医科大学数学2013年第3問

$f(x)=e^x\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-{\cos}x\right)$ とする。

(1)a0=0とする。また、f(x)=0の負の解のうち、絶対値の最も小さい解をa1、次に小さい解をa2とする。
- (i) $a_1=-\dfrac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}\pi$ 、 $a_2=-\dfrac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}\pi$ である。
- (ii) $\displaystyle\int e^x{\cos}xdx=\dfrac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}}e^x({\sin}x\fbox{キ}{\cos}x)+C$ が成り立つ。ただし、 $C$ は積分定数である。ここで、 $\fbox{キ}$ は符号 $+$ 、 $-$ のいずれかである。
- (iii) $A$ 、 $B$ 、 $D$ 、 $E$ を定数として、 $\displaystyle\int_{a_1}^{a_0}|f(x)|dx=\dfrac{1}{2}(A-\sqrt{B}+\sqrt{D}e^{E\pi})$ と表すとき、 $A=\fbox{ク},~B=\fbox{ケ},~D=\fbox{コ},~E=-\dfrac{\fbox{サ}}{\fbox{シ}}$ である。
  また、 $F$ 、 $G$ を定数として、 $\displaystyle\int_{a_2}^{a_1}|f(x)|dx=Fe^{G\pi}$ と表すとき、 $F=\dfrac{\sqrt{\fbox{ス}}}{2},~G=-\dfrac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}}$ である。
(2) $f’(x)=0$ を満たす負の $x$ を、絶対値の小さい順に $b_1,b_2,\cdots$ とするとき、 $b_1=-\dfrac{\fbox{タチ}}{\fbox{ツテ}}\pi,~b_2=-\dfrac{\fbox{トナ}}{\fbox{ニヌ}}\pi$ である。また、 $f(x)$ は $n$ が偶数のとき $x=b_n$ で $\fbox{ネ}$ をとり、 $n$ が奇数のとき $x=b_n$ で $\fbox{ノ}$ をとる。ここで、 $\fbox{ネ}$ 、 $\fbox{ノ}$ は、それぞれ、極大値、極小値のいずれかであり、
極大値である場合は、解答欄の(8)を、
極小値である場合は、解答欄の(9)を
マークしなさい。