$n$を自然数、$a_{n}$を実数とし、$f_{n}(x)=e^{-x+a_{n}}$とする。曲線$y=f_{n}(x)$上の点$(x, f_{n}(x))$と原点$(0,0)$を結ぶ線分の長さが$x=\dfrac{1}{n}$で最小であるとし、原点$(0,0)$と点$\left(\dfrac{1}{n},f_{n}\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)$との距離を$l_{n}$とする。ただし、対数は自然対数であり、自然対数の底$e$の値は約2.718である。

• (1) $a_{1}=\fbox{ア}$、$a_{2}=\frac{1}{\fbox{イ}}-\frac{1}{2}\log\fbox{ウ}$、$a_{3}=\frac{1}{\fbox{エ}}-\frac{1}{2}\log\fbox{オ}$である。
• (2) $l_{1}^{2}=\fbox{カ}$、$l_{2}^{2}=\frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}}$、$l_{3}^{2}=\frac{\fbox{ケ}}{\fbox{コ}}$である。
• (3) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(0)=\fbox{サ}$、$\displaystyle \lim_{n\to\infty}l_n=\fbox{シ}$である。
• (4) $a_{n}\lt0$となる最小の$n$は$\fbox{ス}$であり、$a_{n}\lt-1$となる最小の$n$は$\fbox{セソ}$である。ただし、必要ならば$\log2$、$\log3$、$\log5$、$\log7$の近似値として、それぞれ、$0.693$、$1.099$、$1.609$、$1.946$を用いよ。
• (5) $\displaystyle S_{n}=\int_{0}^{\frac{1}{n}}f_{n}(x)dx$とし、$\beta$を実数とする。数列$\{n^{\beta}S_{n}\}$が$n \to \infty$のとき正の値に収束するとき、$\beta=\frac{\fbox{タ}}{\fbox{チ}}$、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^{\beta}S_{n}=\fbox{ツ}$である。