久留米大学数学2013年第1問

次の四角に適切な解を入れよ。複数の解がある場合は、コンマで区切ってすべての解を記入すること。

1.2つの曲線$y=2x^2$と$y=2x^2-4x+2$が共通の接線をもつとき、接線の方程式は$y=\fbox{1}$、2つの接点の$y$座標は$\fbox{2}$であり、2つの曲操と接線とで囲まれた部分の面積は$\fbox{3}$となる。
2.$\omega=1+i$とする。2次方程式$x^2+ax+b=0$が$\dfrac{\overline{\omega}}{\omega}$を解としてもつとき、$a=\fbox{4}$、$b=\fbox{5}$である。また、3次方程式$x^3+cx^2+dx+e=0$が解として1と$\omega^3$をもつとき、$c=\fbox{6}$、$d=\fbox{7}$、$e=\fbox{8}$である。ここで、$i$は虚数単位、$\overline{\omega}$は$\omega$と共役な複素数である。
3.次の計算をしなさい。 \[\displaystyle\int_0^1 2^{2x}dx=\fbox{9},~\displaystyle\int_1^2 2\log_2xdx=\fbox{10},~\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{24}}16\sin^2xdx=\fbox{11}\]
4.次の問いに答えよ。
- (a)$f(x)=\dfrac{4x+5}{x^2+1}$とする。
  $f(x)$は、$x=\fbox{12}$で最小値$\fbox{13}$を、$x=\fbox{14}$で最大値$\fbox{15}$をとる。
- (b)$f(x)=\cos 5x+9\cos 3x-10\cos x$とする。
  $f(x)$は、$\cos x=\fbox{16}$のとき最小値$\fbox{17}$をとる。ただし、$0 \leqq x\lt \dfrac{\pi}{2}$とする。
- (c)実数$x$、$y$が$x^2+y^2-x-y-2=0$を満たすとき、$x$の最小値は$\fbox{18}$、最大値は$\fbox{19}$である。また$x+y$の最小値は$\fbox{20}$、最大値は$\fbox{21}$である。
5.$f(x)= \displaystyle\int_0^x (x-t)^2(\sin t+\cos t)dt$とする。このとき、$f’(x)= \fbox{22}$、$f’'(x)= \fbox{23}$となる。また、$f(\pi)= \fbox{24}$である。
6. さいころを連続して振るとき、
- (a)同じ数が続けて2回でると終了とする。このとき、$n$回目で終わる確率は$\fbox{25}$である。ただし、$n\geqq 2$とする。
- (b)$n$回日にでた数が、それ以前にでた数と一致すると終了とする。このとき、$n$回目で終わる確率は$\fbox{26}$である。ただし、$2\leqq n\leqq 7$とする。