久留米大学数学2013年第1問

次の四角に適切な解を入れよ。複数の解がある場合は、コンマで区切ってすべての解を記入すること。

1.2つの曲線 $y=2x^2$ と $y=2x^2-4x+2$ が共通の接線をもつとき、接線の方程式は $y=\fbox{1}$ 、2つの接点の $y$ 座標は $\fbox{2}$ であり、2つの曲操と接線とで囲まれた部分の面積は $\fbox{3}$ となる。
2. $\omega=1+i$ とする。2次方程式 $x^2+ax+b=0$ が $\dfrac{\overline{\omega}}{\omega}$ を解としてもつとき、 $a=\fbox{4}$ 、 $b=\fbox{5}$ である。また、3次方程式 $x^3+cx^2+dx+e=0$ が解として1と $\omega^3$ をもつとき、 $c=\fbox{6}$ 、 $d=\fbox{7}$ 、 $e=\fbox{8}$ である。ここで、 $i$ は虚数単位、 $\overline{\omega}$ は $\omega$ と共役な複素数である。
3.次の計算をしなさい。 $\displaystyle\int_0^1 2^{2x}dx=\fbox{9},~\displaystyle\int_1^2 2\log_2xdx=\fbox{10},~\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{24}}16\sin^2xdx=\fbox{11}$
4.次の問いに答えよ。
- (a) $f(x)=\dfrac{4x+5}{x^2+1}$ とする。
  $f(x)$ は、 $x=\fbox{12}$ で最小値 $\fbox{13}$ を、 $x=\fbox{14}$ で最大値 $\fbox{15}$ をとる。
- (b) $f(x)=\cos 5x+9\cos 3x-10\cos x$ とする。
  $f(x)$ は、 $\cos x=\fbox{16}$ のとき最小値 $\fbox{17}$ をとる。ただし、 $0 \leqq x\lt \dfrac{\pi}{2}$ とする。
- (c)実数 $x$ 、 $y$ が $x^2+y^2-x-y-2=0$ を満たすとき、 $x$ の最小値は $\fbox{18}$ 、最大値は $\fbox{19}$ である。また $x+y$ の最小値は $\fbox{20}$ 、最大値は $\fbox{21}$ である。
5. $f(x)= \displaystyle\int_0^x (x-t)^2(\sin t+\cos t)dt$ とする。このとき、 $f’(x)= \fbox{22}$ 、 $f’'(x)= \fbox{23}$ となる。また、 $f(\pi)= \fbox{24}$ である。
6. さいころを連続して振るとき、
- (a)同じ数が続けて2回でると終了とする。このとき、 $n$ 回目で終わる確率は $\fbox{25}$ である。ただし、 $n\geqq 2$ とする。
- (b) $n$ 回日にでた数が、それ以前にでた数と一致すると終了とする。このとき、 $n$ 回目で終わる確率は $\fbox{26}$ である。ただし、 $2\leqq n\leqq 7$ とする。