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久留米大学数学2012年第1問

次の四角に適切な解を入れよ。複数の解がある場合は、コンマで区切ってすべての解を記入すること。
  1. 数列$\{a_n\}$が$a_n=(1+r)^{-n}$で定められるとき、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_1+a_2+\cdots+a_n)=\fbox{1}$となる。また、$\displaystyle\lim_{t\to\infty}\int^t_0(1+r)^{-x}dx=\fbox{2}$となる。ただし、$r$は正の実数とする。
  2. 曲線$y=2\tan^2x$上の点$\left(\dfrac{\pi}{4},2\right)$における接線 $l$ の方程式は$y=\fbox{3}$であり、この曲線と接線 $l$ および$x$軸によって囲まれた部分の面積は$\fbox{4}$となる。ただし、$0\leqq{x}\lt\dfrac{\pi}{2}$とする。
  3. $a$は正の実数で、点$\text{A}(0,a)$、点$\text{P}(-2,0)$、点$\text{Q}(2,0)$を頂点とする三角形を考える。この三角形の外接円の中心座標は$\fbox{5}$、半径は$\fbox{6}$であり、$a=\fbox{7}$のとき、外接円の半径は最小値$\fbox{8}$をとる。
  4. $y=x^4+2x^3-3x^2-2x+1$のグラフと2点で接する直線の方程式は$y=\fbox{9}$であり、接点の座標は$\fbox{10}$と$\fbox{11}$となる。
  5. 点$\text{A}(2,2,3)$と点$\text{B}(2,4,1)$の中点を$\text{M}$原点を$\text{O}$とする。ベクトル$\overrightarrow{\text{AB}}$、$\overrightarrow{\text{OM}}$ともに直交する単位ベクトル$\vec{t}$を成分表示で表すと$\fbox{12}$となる。また、$\text{AB}$を底辺とする正三角形$\text{ABC}$が$\overrightarrow{\text{OM}}\perp\overrightarrow{\text{MC}}$の条件を満たすとき、頂点$\text{C}$の座標は$\fbox{13}$となる。
  6. $f(x)=a(x^2-6x+10)^2-x^2+6x-5+a$とする。$a=0$のとき、$f(x)$の最大値は$\fbox{14}$となる。また、$f(x)$が正の最大値をもつ$a$の条件は$\fbox{15}$であり、$x=\fbox{16}$のとき最大値をとる。
  7. $f(x)=a\cos{x}$、$g(x)=\sin{x}$、$0\leqq{x}\leqq\dfrac{\pi}{2}$とする。曲線$y=f(x)$、$x$軸、$y$軸で囲まれた部分の面積を$S$曲線$y=f(x)$、曲線$y=g(x)$、$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1$とする。
    • (i) 曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$が$x=\dfrac{\pi}{6}$で交わるとき$a=\fbox{17}$、$\dfrac{S_1}{S}=\fbox{18}$である。
    • (ii) $\dfrac{S_1}{S}=\dfrac{2}{3}$のとき$a=\fbox{19}$となる。
  8. 次の計算をすると、$\displaystyle\lim_{x\to4}\dfrac{\sqrt{2x+1}-3}{\sqrt{x-2}-\sqrt{2}}=\fbox{20}$となる。