久留米大学数学2012年第1問

次の四角に適切な解を入れよ。複数の解がある場合は、コンマで区切ってすべての解を記入すること。

数列 $\{a_n\}$ が $a_n=(1+r)^{-n}$ で定められるとき、 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_1+a_2+\cdots+a_n)=\fbox{1}$ となる。また、 $\displaystyle\lim_{t\to\infty}\int^t_0(1+r)^{-x}dx=\fbox{2}$ となる。ただし、 $r$ は正の実数とする。
曲線 $y=2\tan^2x$ 上の点 $\left(\dfrac{\pi}{4},2\right)$ における接線 $l$ の方程式は $y=\fbox{3}$ であり、この曲線と接線 $l$ および $x$ 軸によって囲まれた部分の面積は $\fbox{4}$ となる。ただし、 $0\leqq{x}\lt\dfrac{\pi}{2}$ とする。
$a$ は正の実数で、点 $\text{A}(0,a)$ 、点 $\text{P}(-2,0)$ 、点 $\text{Q}(2,0)$ を頂点とする三角形を考える。この三角形の外接円の中心座標は $\fbox{5}$ 、半径は $\fbox{6}$ であり、 $a=\fbox{7}$ のとき、外接円の半径は最小値 $\fbox{8}$ をとる。
$y=x^4+2x^3-3x^2-2x+1$ のグラフと2点で接する直線の方程式は $y=\fbox{9}$ であり、接点の座標は $\fbox{10}$ と $\fbox{11}$ となる。
点 $\text{A}(2,2,3)$ と点 $\text{B}(2,4,1)$ の中点を $\text{M}$ 原点を $\text{O}$ とする。ベクトル $\overrightarrow{\text{AB}}$ 、 $\overrightarrow{\text{OM}}$ ともに直交する単位ベクトル $\vec{t}$ を成分表示で表すと $\fbox{12}$ となる。また、 $\text{AB}$ を底辺とする正三角形 $\text{ABC}$ が $\overrightarrow{\text{OM}}\perp\overrightarrow{\text{MC}}$ の条件を満たすとき、頂点 $\text{C}$ の座標は $\fbox{13}$ となる。
$f(x)=a(x^2-6x+10)^2-x^2+6x-5+a$ とする。 $a=0$ のとき、 $f(x)$ の最大値は $\fbox{14}$ となる。また、 $f(x)$ が正の最大値をもつ $a$ の条件は $\fbox{15}$ であり、 $x=\fbox{16}$ のとき最大値をとる。
f(x)=a\cos{x}、g(x)=\sin{x}、0\leqq{x}\leqq\dfrac{\pi}{2}とする。曲線y=f(x)、x軸、y軸で囲まれた部分の面積をS曲線y=f(x)、曲線y=g(x)、y軸で囲まれた部分の面積をS_1とする。
- (i) 曲線 $y=f(x)$ と曲線 $y=g(x)$ が $x=\dfrac{\pi}{6}$ で交わるとき $a=\fbox{17}$ 、 $\dfrac{S_1}{S}=\fbox{18}$ である。
- (ii) $\dfrac{S_1}{S}=\dfrac{2}{3}$ のとき $a=\fbox{19}$ となる。
次の計算をすると、 $\displaystyle\lim_{x\to4}\dfrac{\sqrt{2x+1}-3}{\sqrt{x-2}-\sqrt{2}}=\fbox{20}$ となる。