昭和大学数学2013年第2問
2つの2次曲線$C_1:y=x^2$、$C_2:y^2=x$がある。次の各問に答えよ。ただし、(1)から(4)までは、答は結果のみを解答欄に記入せよ。
- (1) $C_1$、$C_2$のいずれにも接する直線の方程式を求めよ。
- (2) $C_1$上の点$\text{P}(p,p^2)$を通る直線で$C_2$と接するものがちょうど2本引けるような$p$のとり得る値の範囲を求めよ。
- (3) $C_1$上の点$\text{P}(p,p^2)$を通る直線で$C_2$と接するものがちょうど2本引け、さらにその2本の接線がいずれも$C_1$と$\text{P}$以外の点でも交わるとする。このような$p$のとり得る値の範囲を求めよ。
- (4) $C_1$上の相異なる2点$\text{Q}_1(q_1,{q_1}^2)$、$\text{Q}_2(q_2,{q_2}^2)$について、直線$\text{Q}_1\text{Q}_2$が$C_2$と接するための条件を求めよ。
- (5) $C_1$上の点$\text{P}(p,p^2)$を通る直線で$C_2$と接するものがちょうど2本引け、さらにその2本の接線がいずれも$C_1$と$\text{P}$以外の点でも交わるとする。いま、その2本の接線と$C_1$との交点のうち、$\text{P}$以外の交点をそれぞれ$\text{Q}_1$および$\text{Q}_2$とする。このとき、直線$\text{Q}_1\text{Q}_2$は再び$C_2$と接することを示せ。