昭和大学数学2013年第2問

2つの2次曲線

$C_1:y=x^2$ 、

$C_2:y^2=x$ がある。次の各問に答えよ。ただし、(1)から(4)までは、答は結果のみを解答欄に記入せよ。

(1) $C_1$ 、 $C_2$ のいずれにも接する直線の方程式を求めよ。
(2) $C_1$ 上の点 $\text{P}(p,p^2)$ を通る直線で $C_2$ と接するものがちょうど2本引けるような $p$ のとり得る値の範囲を求めよ。
(3) $C_1$ 上の点 $\text{P}(p,p^2)$ を通る直線で $C_2$ と接するものがちょうど2本引け、さらにその2本の接線がいずれも $C_1$ と $\text{P}$ 以外の点でも交わるとする。このような $p$ のとり得る値の範囲を求めよ。
(4) $C_1$ 上の相異なる2点 $\text{Q}_1(q_1,{q_1}^2)$ 、 $\text{Q}_2(q_2,{q_2}^2)$ について、直線 $\text{Q}_1\text{Q}_2$ が $C_2$ と接するための条件を求めよ。
(5) $C_1$ 上の点 $\text{P}(p,p^2)$ を通る直線で $C_2$ と接するものがちょうど2本引け、さらにその2本の接線がいずれも $C_1$ と $\text{P}$ 以外の点でも交わるとする。いま、その2本の接線と $C_1$ との交点のうち、 $\text{P}$ 以外の交点をそれぞれ $\text{Q}_1$ および $\text{Q}_2$ とする。このとき、直線 $\text{Q}_1\text{Q}_2$ は再び $C_2$ と接することを示せ。