帝京大学数学2012年第1問
次の四角にあてはまる数を求め、解答のみを解答欄に記入しなさい。
- (1) $x$の3次関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ ($a$、$b$、$c$は定数)について、$f(x)$は$x=1$で極値をとるとする。また、$f(x)$を$x$の整式と考えて$x^2-3x+2$で割ると余りが$2x+1$になるとする。このとき、$a=\fbox{ア}$であり、関数$f(x)$は、$x=1$で極値をとる以外に、$x=\fbox{イ}$で極値をとる。
- (2) $x=\log_74$のとき、$2^{\frac{1}{x}}=\fbox{ウ}$である。
- (3) $a$、$b$は定数で、$a\gt0$とするとき、$x$の関数$f(x)=a\cos^2x+2b\cos x\sin x-a\sin^2x~(0\leqq x\leqq\pi)$の最大値が1であり、$f\bigg(\dfrac{\pi}{6}\bigg)=0$であるとする。このとき、$a=\fbox{エ}$であり、関数$f(x)$の最大値を与 える$x$の値は、$x=\fbox{オ}\pi$である。
- (4) 四面体$\text{OABC}$において、$\Delta\text{ABC}$の重心を$\text{G}$とする。辺$\text{OA}$上に点$\text{P}$があって、直線$\text{OG}$と$\Delta\text{PBC}$の交点を$\text{M}$とするとき、点$\text{M}$は線分$\text{OG}$の中点であるとする。このとき、$\text{OP}:\text{OA}=1:\fbox{カ}$である。さらに、直線$\text{PM}$と辺$\text{BC}$の交点を$\text{Q}$とするとき、$\text{PM}:\text{PQ}=1:\fbox{キ}$である。また、四面体$\text{MABQ}$の体積：四面体$\text{OABC}$の体積 $=1:\fbox{ク}$である。