東邦大学数学2012年第1問

$\fbox{1}$ 右図のように、円周上に3点 $\text{A}$ 、 $\text{B}$ 、 $\text{C}$ があり、 $\angle\text{ACB}=108^\circ$ である。円の外部にある点 $\text{P}$ から円に引いた2つの接線が $\text{A}$ と $\text{B}$ で接するとき、 $\angle\text{APB}=\fbox{アイ}^\circ$ である。
$\fbox{2}$ 1から1000までの自然数のうち、3の倍数全体の集合を $A$ 、5の倍数全体の集合を $B$ 、7の倍数全体の集合を $C$ で表す。このとき、集合 $(A\cup B)\cap C$ の要素の個数は $\fbox{ウエ}$ である。
$\fbox{3}$ $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ をそれぞれ定数とし、座標平面上で行列 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ の表す1次変換を $f$ とする。 $f$ によって、2点 $(1, 1)$ 、 $(1, -1)$ がそれぞれ $(12, 7)$ 、 $(8, -9)$ に移るとき、 $a+d$ の値は $\fbox{オカ}$ である。
$\fbox{4}$ 3個のサイコロを同時にふるとき、出た目のうち最大の目が4かつ最小の目が3となる確率は $\dfrac{\fbox{キ}}{\fbox{クケ}}$ である。
$\fbox{5}$ 極限 $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1}{x}\bigg(\dfrac{1}{\sqrt{3-\sin x}}-\dfrac{1}{\sqrt{3+\sin x}}\bigg)$ の値は $\dfrac{\sqrt{\fbox{コ}}}{\fbox{サ}}$ である。
$\fbox{6}$ $k$ を定数とする。2つの2次方程式 $2x^2+kx-1=0$ $2x^2-2x+k+1=0$ が共通の解をただ一つもつとき、 $k$ の値は $\fbox{シス}$ である。
$\fbox{7}$ 2つの実数 $x$ 、 $y$ が $\dfrac{1}{8^x}=\dfrac{1}{27^y}=36$ を満たすとき、
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{\fbox{セソ}}{\fbox{タ}}$ である。
$\fbox{8}$ $a$ を定数とする。座標平面上の2つの曲線 $y=a(x^2+1)$ と $y=2x^2-x^3$ が相違なる3つの点で交わるとき、 $a$ の取りうる値の範囲は
$\fbox{チ}\lt a\lt\dfrac{\fbox{ツ}}{\fbox{テ}}$ である。
$\fbox{9}$ 空間において、2点 $(0,0,0)$ 、 $(1,1,1)$ を通る直線を $l$ 、2点 $(1,0,0)$ 、 $(0,1,0)$ を通る直線を $m$ とする。
$l$ 上の点と $m$ 上の点の間の距離の最小値は $\dfrac{\sqrt{\fbox{ト}}}{\fbox{ナ}}$ である。
$\fbox{10}$ $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ をそれぞれ定数とする。座標平面上の曲線 $y=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ は、 $x=0$ で $x$ 軸に接し、かつ異なる2つの点で直線 $y=x-9$ に接するとする。このとき、 $a$ の値は $\dfrac{\fbox{ニ}}{\fbox{ヌ}}$ である。
$\fbox{11}$ 3次方程式 $x^3-x^2-4x-1=0$ の3つの解を $\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\gamma$ とするとき、 $\bigg(\alpha+\dfrac{1}{\alpha}\bigg)\bigg(\beta+\dfrac{1}{\beta}\bigg)\bigg(\gamma+\dfrac{1}{\gamma}\bigg)=\fbox{ネノ}$ である。
$\fbox{12}$ $0\leqq t\leqq\sqrt{2}$ を定義域とする $t$ の関数 $\displaystyle\int_0^\frac{3}{2}\Bigg|t-\sqrt{2-\dfrac{4}{3}x}\Bigg|dx$ の最小値は $\fbox{ハヒ}+\sqrt{\fbox{フ}}$ である。
$\fbox{13}$ $\triangle\text{ABC}$ において、 $\text{AB}=\text{CA}=13$ 、 $\text{BC}=10$ とする。また、辺 $\text{AB}$ の中点を $\text{D}$ 、辺 $\text{CA}$ を $2:1$ に内分する点を $\text{E}$ 、線分 $\text{CD}$ と線分 $\text{BE}$ の交点を $\text{F}$ とする。このとき、 $\triangle\text{CEF}$ の面積は $\fbox{ヘホ}$ である。
$\fbox{14}$ 座標平面において、3直線 $y=0$ 、 $4x+3y-4=0$ 、 $12x-5y=0$ に囲まれてできる三角形の内心の $x$ 座標は、 $\dfrac{\fbox{マ}}{\fbox{ミ}}$ である。
$\fbox{15}$ 実数 $x$ に対して $n\leqq x\lt n＋1$ を満たす整数 $n$ を $[~x~]$ で表すとき、
$\displaystyle\sum_{k=1}^{50}\bigg[\dfrac{3}{5}k\bigg]$ の値は $\fbox{ムメモ}$ である。