上端に質量$m$の板Aを取り付け下端を床に固定したバネが鉛直に置かれている。Aの上にさらに質量$M$の物体Bをのせると、バネ はA、Bの重みにより自然長より$l_0$縮んだつり合いの状態で静止した。図1に見るようにAとBは大きさが無視できる点で表せるとして、このつり合い点$\text{O}$を原点とする$y$座標を鉛直上向きにとる。重力加速度を$g$、バネ定数を$k$として、以下の設問に答えよ。ただし、バネの質量は無視できる。問題文中にない物理量は定義してから用いること。

• (1) $l_0$を問題文中の物理量で表せ。

図2に見るように、A、Bを$\text{O}$点からさらにゆっくり押し下げて、$l_1$だけ下がったP点で力をはずすと、A、Bは一体となってQ点まで上昇し、その後反転した。Q点の$y$座標を$y_\text{Q}$で表す。A、BがP点またはQ点にある時、バネの弾性エネルギーとA、Bの重力による位置エネルギーの和をそれぞれ$E_\text{p}$、$E_\text{Q}$とする。

• (2) $E_\text{p}$と$E_\text{Q}$の各々を$k$、$l_0$、$l_1$および$y_\text{Q}$を用いて表せ。ただし、重力による位置エネルギーの基準を$\text{O}$点にとる。
• (3) 前問の結果からQ点の座標$y_\text{Q}$の値を求めよ。
• (4) Q点に達した後、AとBが一体となって単振動するためには、押し下げ量$l_1$にどのような条件が必要か、理由と共に記せ。