図に見るように、水平で摩擦のない$xy$平面上で、$x$軸上を速度$\vec{V}$(大きさは$V$で表す)で直進している質量$M$の物体$\text{A}$と、$x$軸から角度$\theta$の方向に速度$\vec{v}$(大きさは$v$で表す)で直進している質量$m$の物体$\text{B}$が、座標の原点$\text{O}$において衝突した。

衝突後、物体$\text{A}$、$\text{B}$は一体となって速度$\vec{V}’$(大きさは$V’$で表す)で平面上を$x$軸から角度$\theta’$の方向に進んだ。物体$\text{A}$、$\text{B}$の大きさは無視できるものとして、以下の問に答えよ。文中にない量は定義してから用いること。

• (1) 物体$\text{A}$、$\text{B}$の運動量の和に注目し、その衝突前後の関係を$x$成分および$y$成分に分けて記せ。
• (2) $ \vec{V}’$を$M$、$m$、$V$、$v$、$\theta$で表せ。

さらに、$m=\dfrac{1}{10}M$、$mv=\dfrac{1}{2}MV$の条件で、以下の問に答えよ。

• (3) 衝突前の物体$\text{A}$、$\text{B}$の運動エネルギーの和$E_0$、および衝突後の運動エネルギー$E_1$をそれぞれ求め、$M$、$v$、$\theta$のみで表せ。また、衝突前後の変化$\Delta E(=E_1-E_0)$を求めよ。
• (4) 衝突後の運動量ベクトルを解答用紙の図に描き入れよ。また、$\theta$を$0^\circ$から$180^\circ$まで変化させたとき、衝突後の運動量ベクトルの先端はどのような軌跡を描くか、解答用紙の図に描き入れよ。この図を用いて、$\theta’$の最大値$\theta’_{max}$と、そのときの$\theta$を求めよ。