普遍的な物理量であるエネルギーに注目することで、異なる分野の物理現象の間に類似性を見出すことができる。ここでは、コンデンサーにたくわえられる静電エネルギーと水槽にため込まれる水の位置エネルギーを対比して考える。以下の(A)、(B)の文中の空欄を埋め、(C)の問に答えよ。

• (A) コンデンサーの場合

  図1に示すように、電気容量$C_A$のコンデンサー$\text{A}$と電気容量$C_B$のコンデンサー$\text{B}$が電気抵抗$\text{R}$とスイッチ$\text{S}$でつながれている。最初、スイッチは開かれており、コンデンサー$\text{A}$には電荷$Q_0$がたくわえられているが、コンデンサー$\text{B}$の電荷は$0$であった。コンデンサー$\text{A}$の両端の電圧を$V_0$とすると、$Q_0=m\fbox{1}V_0$と表せる。一般に、コンデンサーの電圧が$V$であるときに、さらに$\Delta Q$の電荷をたくわえるのに必要なエネルギーを$\Delta U_e$で表すと、$\Delta U_e=\fbox{2}V$で与えられる。したがって、コンデンサー$\text{A}$の電圧が$V_0$のとき、たくわえられている静電エネルギー$U_{e0}$は、 \[U_{e0}=\fbox{3}Q_0V_0=\fbox{4}{Q_0}^2\cdots\tag{1}\label{aa}\] である。

  次に、スイッチを閉じると抵抗を通して微少な電流が流れ、コンデンサー$\text{A}$の電圧はゆっくり下降し、コンデンサー$\text{B}$の電圧はゆっくり上昇した。十分に時間が経過した後、2つのコンデンサーの電圧はともに$V_1$になった。この場合、$V_1=\fbox{5}Q_0$と表せる。このとき、2つのコンデンサーにたくわえられている静電エネルギーの合計$U_{e1}$は、 \[U_{e1}=\fbox{3}Q_0V_1=\fbox{6}{Q_0}^2\cdots\tag{2}\label{ab}\] である。$\eqref{aa}$式と$\eqref{ab}$式の比較から、スイッチを閉じる前後の2つのコンデンサーにたくわえられた静電エネルギーの和の変化は、$U_{e1}-U_{e0}=\fbox{7}{Q_0}^2$と求められる。

• (B) 水槽の場合

  図2に示すように、断面積がそれぞれ$S_A$、$S_B$の円筒水槽$\text{A}$、$\text{B}$が同一水平面上に鉛直に置かれており、$\text{A}$と$\text{B}$は底の部分で栓のついた太さや体積の無視できる管でつながれている。最初、栓は閉じられており、水槽$\text{A}$には水位(底面から水面までの高さ)$h_0$まで水がため込まれているが、水糟$\text{B}$は空であった。このとき、水糟$\text{A}$にため込まれている水の質量$M_0$は、水の密度を$\rho$とすると、$M_0=\fbox{8}h_0$と表せる。ここで、底面を基準とした水の位置エネルギーを考えることにしよう。一般に、水糟の水位が$h$であるときに、さらに質量$\Delta M$の水をため込むのに必要なエネルギーを$\Delta U_w$で表すと、重力加速度を$g$とすれば、$\Delta U_w=\fbox{ア}h$で与えられる。したがって、水槽$\text{A}$の水位が$h_0$のとき、ため込まれている水が持つ位置エネルギー$U_{w0}$は、 \[U_{w0}=\fbox{10}M_0h_0=\fbox{11}{M_0}^2\cdots\tag{3}\label{ac}\] である。

  次に、栓を開けると水は水槽$\text{A}$から水槽$\text{B}$に静かに流れ、水槽$\text{A}$の水位はゆっくり下降し、水槽$\text{B}$の水位はゆっくり上昇した。十分に時間が経過した後、2つの水槽の水位はともに$h_1$になった。この場合、$h_1=\fbox{12}M_0$と表せる。このとき、2つの水槽にため込まれている水の位置エネルギーの合計$U_{w1}$は、 \[U_{w1}=\fbox{10}M_0h_1=\fbox{13}{M_0}^2\cdots\tag{4}\label{ad}\] である。$\eqref{ac}$式と$\eqref{ad}$式の比較から、栓を開ける前後の2つの水槽にため込まれた水の位置エネルギーの和の変化は、$U_{w1}-U_{w0}=\fbox{14}{M_0}^2$と求められる。

• (C) 以下の問に答えよ。
  • (1) (A)、(B)で考察したコンデンサーと水槽に関する現象を対比させたとき、両現象に現れた物理量の間の類似性を指摘せよ。
  • (2) スイッチを閉じる前後のコンデンサーにたくわえられた静電エネルギーの和の変化、および、栓を開ける前後の水槽にため込まれた水の位置エネルギーの和の変化はなぜ起こったのか、それぞれ説明せよ。