愛知医科大学物理2012年第3問

質量

$m$ 、電荷

$q~(q\gt0)$ の粒子の運動に関する次の問いに答えよ。重力の影響は無視してよい。

問1.図1のように、紙面上にx、y軸をとり、紙面と垂直に裏から表の向きにz軸をとる。zの負の向きに磁東密度Bの一様な磁界(磁場)がある。粒子が原点Oからyの正の向きに速さvで入射し、等速円通動を行った。
1. 粒子の円運動の半径を求めよ。
2. 粒子の円連動の角速度を求めよ。
3. 粒子が原点 $\text{O}$ に入射してから時間 $t$ が経過したときを考える。粒子の円運動の半径を $r_0$ 、角速度を $\omega_0$ とする。
粒子の位置の $x$ 座標と $y$ 座標を、 $r_0$ 、 $\omega_0$ 、 $t$ の中から必要なものを用いて表せ。
粒子にはたらく力の $x$ 成分と $y$ 成分を、 $q$ 、 $v$ 、 $B$ 、 $\omega_0$ 、 $t$ の中から必要なものを用いて表せ。
問2.次に、原点Oから入射した粒子の速度がy軸からずれた場合を考える。図2のように、粒子が原点Oからyz面内で、y軸と角θ(0<θ<π2)をなす方向に速さvで入射した。入射後、粒子はらせん運動を行った。粒子の軌道をz軸からみると、等速円運動をしていた。
1. 粒子が原点 $\text{O}$ に入射した直後に、粒子にはたらく力の大きさを、 $m$ 、 $q$ 、 $v$ 、 $B$ 、 $\theta$ の中から必要なものを用いて表せ。
2. $z$ 軸からみた粒子の円運動の半径を、 $m$ 、 $q$ 、 $v$ 、 $B$ 、 $\theta$ の中から必要なものを用いて表せ。
3. $z$ 軸からみた粒子の円運動の周期を、 $m$ 、 $q$ 、 $v$ 、 $B$ 、 $\theta$ の中から必要なものを用いて表せ。
4. 粒子が入射した後、最初に $xz$ 平面に達したときの $x$ 座標と $z$ 座標を、 $m$ 、 $q$ 、 $v$ 、 $B$ 、 $\theta$ の中から必要なものを用いて表せ。
5. 粒子が原点Oに入射してから時間tが経過したときの粒子の運動を考える。z軸からみた粒子の円運動の角速度をωとする。
  - (a)このときの粒子の速さを、 $v$ 、 $t$ 、 $\omega$ 、 $\theta$ の中から必要なものを用いて表せ。
  - (b)このときの粒子の速度の $x$ 、 $y$ 、 $z$ 成分をそれぞれ $v_x$ 、 $v_y$ 、 $v_z$ とする。粒子の速度が $xy$ 平面となす傾き $\dfrac{{v_z}}{\sqrt{{v_x}^2+{v_y}^2}}$ を、 $v$ 、 $t$ 、 $\omega$ 、 $\theta$ の中から必要なものを用いて表せ。
  - (c)粒子が原点 $\text{O}$ に入射してから時間 $t$ が経過する間に移動した距離を、 $v$ 、 $t$ 、 $\omega$ 、 $\theta$ の中から必要なものを用いて表せ。
6. 粒子が原点 $\text{O}$ に入射してから時間 $t$ が経過する間に、磁界が粒子にした仕事を求めよ。