$a$を実数の定数とし、2次関数 \[f(x)=x^2-(2a＋3)x-3a^2＋13a\] について考える。また、座標平面上で、放物線$y=f(x)$を$C$とする。

• (1)$C$と$x$軸が異なる2点で交わるとき、$a$のとり得る値の範囲は \[a\lt \dfrac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}},~\dfrac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}\gt a\] である。さらに、$C$と$x$軸との2つの交点がともに$x>3$の領域に含まれるとき、$a$のとり得る値の範囲は \[\dfrac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}}\lt a\lt \dfrac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}}\] である。
• (2)$a$を整数とする。$b$を正の整数とし、1次関数 \[g(x)=2x-2a^2+a+b+7\] を考える。このとき、座標平面上における直線$y=g(x)$を$l$とし、$C$と$l$の異なる2つの交点の$x$座標がともに素数となるような$a$、$b$の値の組を求めたい。
  そこで、$x$についての方程式 \[f(x)=g(x)\] の2つの解を$\alpha$、$\beta$$(\alpha\lt \beta)$とおく。解と係数の関係より \[\alpha +\beta=\fbox{ケ}a+\fbox{コ}\] となるので、$\alpha$、$\beta$が素数であるとき、$\alpha$の値は \[\alpha =\fbox{サ}\] であることがわかる。これより、$\alpha$、$\beta$の満たすべき関係式 \[a^2-\fbox{シ}a+b+\fbox{スセ}=0\] が得られるので、与えられた条件を満たす$a$、$b$の値の組は \[(a,~b)=(\fbox{ソ},\fbox{タ}),~(\fbox{チ},\fbox{ツ})\] である。ただし、$\fbox{ソ}\lt \fbox{チ}$とする。