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獨協医科大学数学2013年第1問

aを実数の定数とし、2次関数 f(x)=x2(2a3)x3a213a について考える。また、座標平面上で、放物線y=f(x)Cとする。
  • (1)Cx軸が異なる2点で交わるとき、aのとり得る値の範囲は a<, >a である。さらに、Cx軸との2つの交点がともにx>3の領域に含まれるとき、aのとり得る値の範囲は <a< である。
  • (2)aを整数とする。bを正の整数とし、1次関数 g(x)=2x2a2+a+b+7 を考える。このとき、座標平面上における直線y=g(x)lとし、Clの異なる2つの交点のx座標がともに素数となるようなabの値の組を求めたい。
    そこで、xについての方程式 f(x)=g(x) の2つの解をαβ(α<β)とおく。解と係数の関係より α+β=a+ となるので、αβが素数であるとき、αの値は α= であることがわかる。これより、αβの満たすべき関係式 a2a+b+スセ=0 が得られるので、与えられた条件を満たすabの値の組は (a, b)=(,), (,) である。ただし、<とする。