獨協医科大学数学2013年第1問
aを実数の定数とし、2次関数
f(x)=x2−(2a+3)x−3a2+13a
について考える。また、座標平面上で、放物線y=f(x)をCとする。
- (1)Cとx軸が異なる2点で交わるとき、aのとり得る値の範囲は a<アイ, ウエ>a である。さらに、Cとx軸との2つの交点がともにx>3の領域に含まれるとき、aのとり得る値の範囲は オカ<a<キク である。
- (2)aを整数とする。bを正の整数とし、1次関数
g(x)=2x−2a2+a+b+7
を考える。このとき、座標平面上における直線y=g(x)をlとし、Cとlの異なる2つの交点のx座標がともに素数となるようなa、bの値の組を求めたい。
そこで、xについての方程式 f(x)=g(x) の2つの解をα、β(α<β)とおく。解と係数の関係より α+β=ケa+コ となるので、α、βが素数であるとき、αの値は α=サ であることがわかる。これより、α、βの満たすべき関係式 a2−シa+b+スセ=0 が得られるので、与えられた条件を満たすa、bの値の組は (a, b)=(ソ,タ), (チ,ツ) である。ただし、ソ<チとする。