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獨協医科大学数学2013年第2問

nを2以上の整数とする。赤球が2個、白球が(2n2)個入っている袋があり、ABの2人がこの袋から球を1個ずつ交互に取り出すゲームを行う。ただし、取り出した球は袋に戻さず、1回目はAが取り出すものとする。また、2個目の赤球が取り出された時点でゲームは終了となり、2個目の赤球を取り出した方を勝ちとする。
  • (1)k1knを満たす整数とする。
    1個目の赤球をAが取り出し、ちょうど2k回日にBが勝つ確率は kn2n である。
    また、1個目の赤球をBが取り出し、ちょうど(2n1)回目にAが勝つ確率は kn2n である。
  • (2)1個目の赤球をAが取り出し、Bが勝つ確率は n+n である。
    また、1個目の赤球をBが取り出し、Aが勝つ確率は nn である。
  • (3)ゲームが終了となるまでにAが球を取り出した回数をXとすると、Xの期待値は n2+nスセn である。