藤田保健衛生大学数学2012年第3問
- (i) 連立1次方程式 \[\begin{cases}5x-y&=kx\\6x-2y&=ky\end{cases}\] が$(x,y)=(0,0)$以外の解をもつような$k$を$k_1$、$k_2$（ただし$k_1{\lt}k_2$）とおくと、$k_1=\fbox{7}$、$k_2=\fbox{8}$である。
- (ii) (i)で求めた$k_1$に対して$(x,y)=(1,a)$、$k_2$に対して$(x,y)=(b,1)$が各々上の連立1次方程式を満たすとき、行列$A$と$P$を \[A=\begin{pmatrix}5&-1\\6&-2\end{pmatrix},{\quad}P=\begin{pmatrix}1&b\\a&1\end{pmatrix}\] とおくと$P^{-1}AP=\fbox{9}$となる。これより自然数$n$に対して$A^n=\fbox{10}$である。
- (iii) 自然数$n$に対して漸化式 \[\begin{cases}a_{n+1}&=5a_n-b_n\\b_{n+1}&=6a_n-2b_n\end{cases},{\quad}a_1=1,b_1=2\] を満たす数列$\{a_n\}$、$\{b_n\}$の一般項を求めると、$a_n=\fbox{11}$、$b_n=\fbox{12}$である。