藤田保健衛生大学数学2012年第3問

(i) 連立1次方程式 $\begin{cases}5x-y&=kx\\6x-2y&=ky\end{cases}$ が $(x,y)=(0,0)$ 以外の解をもつような $k$ を $k_1$ 、 $k_2$ （ただし $k_1{\lt}k_2$ ）とおくと、 $k_1=\fbox{7}$ 、 $k_2=\fbox{8}$ である。
(ii) (i)で求めた $k_1$ に対して $(x,y)=(1,a)$ 、 $k_2$ に対して $(x,y)=(b,1)$ が各々上の連立1次方程式を満たすとき、行列 $A$ と $P$ を $A=\begin{pmatrix}5&-1\\6&-2\end{pmatrix},{\quad}P=\begin{pmatrix}1&b\\a&1\end{pmatrix}$ とおくと $P^{-1}AP=\fbox{9}$ となる。これより自然数 $n$ に対して $A^n=\fbox{10}$ である。
(iii) 自然数 $n$ に対して漸化式 $\begin{cases}a_{n+1}&=5a_n-b_n\\b_{n+1}&=6a_n-2b_n\end{cases},{\quad}a_1=1,b_1=2$ を満たす数列 $\{a_n\}$ 、 $\{b_n\}$ の一般項を求めると、 $a_n=\fbox{11}$ 、 $b_n=\fbox{12}$ である。