福岡大学数学2013年第2問

次の四角をうめよ。答は解答用紙の該当欄に記入せよ。

(i) $|\vec{a}|=2$ 、 $\vec{b}=1$ 、 $\vec{a}\cdot\vec{b}=\dfrac{\sqrt{14}}{2}$ とする。 $\overrightarrow{\text{OA}}=\vec{a}+\sqrt{t}\vec{b}$ 、 $\overrightarrow{\text{OB}}=\vec{a}-\sqrt{t}\vec{b}(t\gt 0)$ とするとき、 $\angle{\text{AOB}}$ が鋭角となるような $t$ の値の範囲は $\fbox{1}$ であり、 $\angle{\text{AOB}}=60^\circ$ となるような $t$ の値は $\fbox{2}$ である。
(ii) 数列 $3,5,8,12,17,23,\cdots$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とすると、 $S_n=\fbox{3}$ である。また、 $T_n=1+3x^2+5x^4+\cdots +(2n-1)x^{2n-2}$ とする。 $n\geqq 2$ のとき、 $(1-x^2)^2T_n$ を求めると、 $(1-x^2)^2T_n=\fbox{4}$ である。