福岡大学数学2012年第1問

次の空欄をうめよ。答は解答用紙の該当欄に記入せよ。

(i) 2つの直線 $y=-\dfrac{1}{3}x+1$ と $y=0$ のなす角を $\theta_1$ とすると、 $\cos\theta_1=\fbox{1}$ である。
また、2つの直線 $y=-\dfrac{1}{3}x+1$ と $y=\dfrac{1}{2}x+1$ のなす角を $\theta_2$ とすると、 $\cos\theta_2=\fbox{2}$ である。
(ii) $0\lt{k}\lt2$ とする。曲線 $C:y=x^2$ 上を動く点Pと、直線 $y=2k(x-1)$ 上を動く点Qとの距離が最小となるとき、点Pの座標を $k$ の式で表すと $\fbox{3}$ である。このときの直線PQと曲線 $C$ とで囲まれる部分の面積が最小になる $k$ の値を求めると、 $k=\fbox{4}$ である。
(iii) 一辺の長さが1の正三角形OABがある。辺ABの中点をMとする。辺OA上に点Pをとり、線分OMと線分BPとの交点をQとする。 $\vec{a}=\overrightarrow{\text{OA}}$ 、 $\vec{b}=\overrightarrow{\text{OB}}$ 、 $k=|\overrightarrow{\text{OP}}|$ とおく。 $\overrightarrow{\text{OQ}}$ を $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $k$ で表すと、 $\overrightarrow{\text{OQ}}=\fbox{5}$ である。また、 $|\overrightarrow{\text{OP}}|=|\overrightarrow{\text{OQ}}|$ となるとき、 $k$ の値は $\fbox{6}$ である。