兵庫医科大学数学2013年第2問
$3n$人の選手が参加する腕相撲大会で、最初に3つのブロックに分け、それぞれのブロックで$n$人の選手が総当たり戦を行うとき、次の各問いに答えよ。
- (1) 1つのブロックにおける総当たり戦の試合数を求めよ。
- (2) 選手が勝つ確率が$\dfrac{1}{2}$であるとき、1つのブロックにおいて
- (a) 全勝する選手がいる確率を求めよ。
- (b) 全勝する選手がいて、同時に全敗する選手がいる確率を求めよ。
- (c) 全勝するか、あるいは全敗する選手がいる確率を求めよ。
- (3) 総当たり戦の結果、各ブロックからそれぞれ1人が勝ち上がり、3人が残る。この3人、$\text{A}$、$\text{B}$、$\text{C}$で勝ち抜き戦を行い、2連勝した選手を優勝とする。最初に、$\text{A}$と$\text{B}$が対戦し、$\text{C}$は待機する。$\text{A}$が勝てば、次に$\text{A}$は$\text{C}$と対戦し、$\text{B}$は待機する。さらに$\text{A}$が勝てば、2連勝で優勝であるが、$\text{C}$が勝てば、$\text{C}$は$\text{B}$と対戦し、$\text{A}$は待機する。このようにして、3人のうち誰かが2連勝して優勝が決まるまで対戦を続ける。このとき、最初の$\text{A}$と$\text{B}$の対戦でそれぞれが勝つ確率は$\dfrac{1}{2}$であるが、勝ち残った選手が待機していた選手に勝つ確率は$\dfrac{1}{4}$であるとして、$\text{A}$が優勝する確率を求めよ。
- (4) (3)において、最初に待機する$\text{C}$が優勝する確率を求めよ。