兵庫医科大学数学2013年第2問

$3n$ 人の選手が参加する腕相撲大会で、最初に3つのブロックに分け、それぞれのブロックで

$n$ 人の選手が総当たり戦を行うとき、次の各問いに答えよ。

(1) 1つのブロックにおける総当たり戦の試合数を求めよ。
(2) 選手が勝つ確率が12であるとき、1つのブロックにおいて
- (a) 全勝する選手がいる確率を求めよ。
- (b) 全勝する選手がいて、同時に全敗する選手がいる確率を求めよ。
- (c) 全勝するか、あるいは全敗する選手がいる確率を求めよ。
(3) 総当たり戦の結果、各ブロックからそれぞれ1人が勝ち上がり、3人が残る。この3人、 $\text{A}$ 、 $\text{B}$ 、 $\text{C}$ で勝ち抜き戦を行い、2連勝した選手を優勝とする。最初に、 $\text{A}$ と $\text{B}$ が対戦し、 $\text{C}$ は待機する。 $\text{A}$ が勝てば、次に $\text{A}$ は $\text{C}$ と対戦し、 $\text{B}$ は待機する。さらに $\text{A}$ が勝てば、2連勝で優勝であるが、 $\text{C}$ が勝てば、 $\text{C}$ は $\text{B}$ と対戦し、 $\text{A}$ は待機する。このようにして、3人のうち誰かが2連勝して優勝が決まるまで対戦を続ける。このとき、最初の $\text{A}$ と $\text{B}$ の対戦でそれぞれが勝つ確率は $\dfrac{1}{2}$ であるが、勝ち残った選手が待機していた選手に勝つ確率は $\dfrac{1}{4}$ であるとして、 $\text{A}$ が優勝する確率を求めよ。
(4) (3)において、最初に待機する $\text{C}$ が優勝する確率を求めよ。