兵庫医科大学数学2013年第3問

関数

$f(x)=e^{-x}\sin x$ について、次の各問いに答えよ。

(1) $f’(x)$ を求めよ。
(2) $0\lt x\lt 5\pi$ における関数 $f(x)$ の極大値をすべて求めよ。
(3) $(k-1)\pi\leqq k\leqq k\pi(k=1,2,\cdots n)$ において曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸とで囲まれる部分を、 $x$ 軸の周りに1回転してできる立体の体積 $V_k$ を求めよ。
(4) (3)で求めた体積 $V_k$ から、 $\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=1}^n V_k$ の値を求めよ。