兵庫医科大学数学2012年第1問

次の(1)から(5)までの各問いの空欄に当てはまる数値、または式を求めよ。

(1) 三角形 $\text{ABC}$ の3辺の長さをそれぞれ、 $\text{BC}=a$ 、 $\text{CA}=b$ 、 $\text{AB}=c$ とする。このとき $a^2=b(b+c),~C=60^\circ$ が成立するなら、角度 $A$ の値は( )である。
(2) 図のように、平面上に正方形で区切られた区画に16個の格子点をとる。これらの格子点から同一直線上にない3点を選び、それらを頂点とする三角形をつくれば、全部で( )個の三角形ができる。
(3) 底面積を $S$ 、高さを $h$ とする三角錐の体積 $V$ が $V=\dfrac{1}{3}Sh$ と表されることを利用すれば、一辺の長さを $a$ とする正四面体の体積は、 $a$ を用いて表せば、( )となる。
(4) $x$ についての方程式 $3(\log{x})^2-6\sin\theta\cdot\log{x}+\cos^2\theta=0$ の2根 $\alpha$ 、 $\beta$ がいずれも正の数で1に等しくないとき、 $\log_{\alpha}{\beta}+\log_{\beta}{\alpha}$ の最小値は( )である。
(5) 定積分 $\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}x^2\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)dx$ の値は( )である。