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兵庫医科大学数学2012年第1問

次の(1)から(5)までの各問いの空欄に当てはまる数値、または式を求めよ。
  • (1) 三角形$\text{ABC}$の3辺の長さをそれぞれ、$\text{BC}=a$、$\text{CA}=b$、$\text{AB}=c$とする。このとき \[a^2=b(b+c),~C=60^\circ\] が成立するなら、角度$A$の値は(     )である。
  • (2) 図のように、平面上に正方形で区切られた区画に16個の格子点をとる。これらの格子点から同一直線上にない3点を選び、それらを頂点とする三角形をつくれば、全部で(     )個の三角形ができる。
    hyogoika-2012-mathematics-1-1
  • (3) 底面積を$S$、高さを$h$とする三角錐の体積$V$が$V=\dfrac{1}{3}Sh$と表されることを利用すれば、一辺の長さを$a$とする正四面体の体積は、$a$を用いて表せば、(     )となる。
  • (4) $x$についての方程式$3(\log{x})^2-6\sin\theta\cdot\log{x}+\cos^2\theta=0$の2根$\alpha$、$\beta$がいずれも正の数で1に等しくないとき、$\log_{\alpha}{\beta}+\log_{\beta}{\alpha}$の最小値は(     )である。
  • (5) 定積分$\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}x^2\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)dx$の値は(     )である。