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兵庫医科大学数学2012年第3問

$a$ 、

$b$ を定数とする関数

$f(x)=x^3+ax^2+bx$ が、条件

（ア） $f(1)=p$ （ $p$ は $p\geqq1$ を満たす定数）
（イ） $x\geqq0$ のとき、 $f(x)\geqq0$

を満たしているとき、次の各問いに答えよ。

(1) 定数 $a$ がとる範囲を、 $p$ を用いて表せ。
(2) 定積分 $\displaystyle\int^{1}_{0}f(x)dx$ が最小値をとるとき、 $b=0$ であることを示せ。
(3) 定積分 $\displaystyle\int^{1}_{0}f(x)dx$ の最小値が2のとき、 $p$ 、 $a$ の値を求めよ。
(4) $p$ が(3)で求められた値をもつとき、定積分 $\displaystyle\int^{1}_{0}f(x)dx$ の最大値を求めよ。