岩手医科大学数学2012年第3問

$0\lt{a}\lt1$ として、曲線

$C:\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ 上の

$x=a$ における接線

$l$ の傾きを

$m$ 、

$y$ 切片を

$b$ とするとき、以下の設問に答えよ。

$m$ と $b$ をそれぞれ $a$ を用いた式で表すと、 $m=\fbox{ア},b=\fbox{イ}$ である。( (ア)、(イ)に入る式を下の選択肢の中から選び、その番号を解答欄に記入せよ。)
$l$ と $x$ 軸、 $y$ 軸で囲まれる三角形の面積を $S_{(a)}$ とすると、 $S_{(a)}=\fbox{ウ}$ である。 ( (ウ)に入る式を下の選択肢の中から選び、その番号を解答欄に記入せよ。)
$S_{(a)}$ は $a=\frac{\fbox{エ}}{\fbox{オ}}$ のとき、最大値 $\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}$ をとる。
$S_{(a)}$ が最大値をとるときの $a$ の値を $x$ 座標とする $C$ 上の点を $\text{A}$ とする。原点を $\text{O}$ として、直線 $\text{OA}$ 、 $y$ 軸、および曲線 $C$ で囲まれる部分の面積と、曲線 $C$ 、 $x$ 軸および $y$ 軸で囲まれる部分の面積の比は $\fbox{ク}:\fbox{ケ}$ である((ク)、(ケ)は、最も簡単な整数比で解答せよ。 )

【選択肢】