岩手医科大学数学2012年第3問

$0\lt{a}\lt1$として、曲線$C:\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$上の$x=a$における接線$l$の傾きを$m$、$y$切片を$b$とするとき、以下の設問に答えよ。

$m$と$b$をそれぞれ$a$を用いた式で表すと、$m=\fbox{ア},b=\fbox{イ}$である。( (ア)、(イ)に入る式を下の選択肢の中から選び、その番号を解答欄に記入せよ。)
$l$と$x$軸、$y$軸で囲まれる三角形の面積を$S_{(a)}$とすると、$S_{(a)}=\fbox{ウ}$である。 ( (ウ)に入る式を下の選択肢の中から選び、その番号を解答欄に記入せよ。)
$S_{(a)}$は$a=\frac{\fbox{エ}}{\fbox{オ}}$のとき、最大値$\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}$をとる。
$S_{(a)}$が最大値をとるときの$a$の値を$x$座標とする$C$上の点を$\text{A}$とする。原点を$\text{O}$として、直線$\text{OA}$、$y$軸、および曲線$C$で囲まれる部分の面積と、曲線$C$、$x$軸および$y$軸で囲まれる部分の面積の比は$\fbox{ク}:\fbox{ケ}$である((ク)、(ケ)は、最も簡単な整数比で解答せよ。 )

【選択肢】