岩手医科大学数学2013年第2問

$a$ を定数とし、

$0 \lt a\lt 1$ とするとき、以下の設問に答えよ。

(1) $x$ の2次方程式 $x^2-2(a-1)x+1-4a^2=0$ において、判別式 $D=\fbox{ア}a^2+\fbox{イ}a+\fbox{ウ}$ であり、この方程式が重解をもつような $a$ の値は $\frac{\fbox{エ}}{\fbox{オ}}$ である。
(2) 設間(1)の2次方程式が $-1 \lt x\lt 0$ の範囲に異なる2つの解をもつような $a$ の値の範囲は $\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}\lt a\lt \frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}$ である。
(3) $x$ の方程式 $(\text{log}_2x)^2-2(a-1) \text{log}_2x+1-4a^2=0$ が $\dfrac{1}{2}\lt x\lt 1$ の範囲に異なる2つの解 $\alpha$ 、 $\beta$ をもつとき、 $\alpha\beta=2^{\fbox{コ}a+\fbox{サ}}$ と表される。よって、 $\alpha\beta$ のとり得る値の範囲は $\dfrac{1}{2\sqrt[5]{ \fbox{シ}}}\lt \alpha\beta\lt \frac{\fbox{ス}}{\fbox{セ}}$ である。
また、 $L=(\text{log}_2\alpha)^2+(\text{log}_2\beta)^2$ として、 $L$ を $a$ を用いた式で表すと、 $L=\fbox{ソ}a^2-\fbox{タ}a+\fbox{チ}$ である。これより、 $L$ のとり得る値の範囲は $\frac{\fbox{ツ}}{\fbox{テ}}\lt L\lt \fbox{ト}$ である。