岩手医科大学数学2013年第2問
$a$を定数とし、$0 \lt a\lt 1$ とするとき、以下の設問に答えよ。
- (1) $x$の2次方程式 $x^2-2(a-1)x+1-4a^2=0$において、判別式$D=\fbox{ア}a^2+\fbox{イ}a+\fbox{ウ}$であり、この方程式が重解をもつような$a$の値は$\frac{\fbox{エ}}{\fbox{オ}}$である。
- (2) 設間(1)の2次方程式が$-1 \lt x\lt 0$ の範囲に異なる2つの解をもつような$a$の値の範囲は$\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}\lt a\lt \frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}$である。
- (3) $x$の方程式$ (\text{log}_2x)^2-2(a-1) \text{log}_2x+1-4a^2=0 $が$\dfrac{1}{2}\lt x\lt 1$ の範囲に異なる2つの解 $\alpha$、$\beta$をもつとき、$\alpha\beta=2^{\fbox{コ}a+\fbox{サ}}$と表される。よって、$\alpha\beta$のとり得る値の範囲は$\dfrac{1}{2\sqrt[5]{ \fbox{シ}}}\lt \alpha\beta\lt \frac{\fbox{ス}}{\fbox{セ}}$ である。
また、$L=(\text{log}_2\alpha)^2+(\text{log}_2\beta)^2$として、$L$を$a$を用いた式で表すと、$L=\fbox{ソ}a^2-\fbox{タ}a+\fbox{チ}$である。 これより、$L$のとり得る値の範囲は$\frac{\fbox{ツ}}{\fbox{テ}}\lt L\lt \fbox{ト}$ である。