岩手医科大学数学2013年第3問

$k\neq0$ とする。円

$x^2+(y-\sqrt{3})^2=4$ と放物線

$y^2=kx$ が点

$(1,~ a)$ で交わるとき、以下の設問に答えよ。

(1) $a=\fbox{ア}\sqrt{\fbox{イ}}$ 、 $k=\fbox{ウ}$ である。
(2) 連立不等式 $\begin{cases} x^2+(y-\sqrt{3})^2\leqq 4\\ y^2\leqq kx\\ y\geqq 0 \end{cases}$
の表す領域を $D_1$ とする。点 $(x, ~y)$ が領域 $D_1$ を動くとき、 $y-4x$ の最大値は $\frac{\fbox{エ}}{\fbox{オ}}$ で、最大値を与える $x$ 、 $y$ の値はそれぞれ $\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}$ 、 $\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}$ である。
(3) 不等式 $x\leqq 1$ の表す領域と、設問(2)の領域 $D_1$ の共通部分を $D_2$ とするとき、領域 $D_2$ を $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積は $\fbox{コ}\pi$ である。
(4) 設問(2)の領域 $D_1$ を $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積は $\frac{\fbox{サ}\sqrt{\fbox{シ}}}{\fbox{ス}}\pi^2$ である。