自治医科大学数学2013年第6セット

20 放物線：$y=x^2-6x+5$と直線：$y=k(-4\lt k\lt 0)$($k$は実数)との2つの異なる交点を$\text{A}$、$\text{B}$とする。$\text{A}$、$\text{B}$と点$\text{C}(3,~0)$で作られる三角形$\text{ABC}$の面積の最大値を$M$とするとき、$\dfrac{3\sqrt{3}}{4}M$の値を求めよ。

(ア) 0
(カ) 1
(サ) 2
(タ) 3
(ナ) 4
(ハ) 5
(マ) 6
(ヤ) 7
(ラ) 8
(ワ) 9

21 放物線$\text{C}:y=x^2-x+2$と直線$\text{L}:y=-5x-a$が点$(b,~c)$で接するとき、$a+b+c$の値を求めよ。

(ア) 0
(カ) 1
(サ) 2
(タ) 3
(ナ) 4
(ハ) 5
(マ) 6
(ヤ) 7
(ラ) 8
(ワ) 9

22 関数$f(x)=\displaystyle\int_1^x(t^2-t-6)dt$の極大値を$p$、極小値を$q$とする。
$(pq+100)$の値を求めよ。

(ア) 0
(カ) 1
(サ) 2
(タ) 3
(ナ) 4
(ハ) 5
(マ) 6
(ヤ) 7
(ラ) 8
(ワ) 9

23 9つの辺の長さの総和が9である正三角柱(底面が正三角形である三角柱)の体積を$V$とする。各辺の長さが変化するとき、$V$の最大値を$M$とする。
$\dfrac{12}{\sqrt{3}}M$の値を求めよ。

(ア) 0
(カ) 1
(サ) 2
(タ) 3
(ナ) 4
(ハ) 5
(マ) 6
(ヤ) 7
(ラ) 8
(ワ) 9

24 曲線$\text{C}1:y=x^3+5x^2+9x+9$、曲線$\text{C}2:y=-21x^2+ax+b$について考える。曲線$\text{C}1$と曲線$\text{C}2$は点$\text{P}(1,~24)$で接する。曲線$\text{C}2$と$x$軸で囲まれる面積を$S$とする。
$\dfrac{9S}{13^3}$の値を求めよ。

(ア) 0
(カ) 1
(サ) 2
(タ) 3
(ナ) 4
(ハ) 5
(マ) 6
(ヤ) 7
(ラ) 8
(ワ) 9

25 曲線$\text{C}1:y=-x^2+2x-3$と曲線$\text{C}2:y=-x^2+8x-21$の両方に接する直線を$\text{L}$とする。曲線$\text{C}1$と曲線$\text{C}2$と直線$\text{L}$で囲まれる部分の面積を$S$とする。$4S$の値を求めよ。

(ア) 0
(カ) 1
(サ) 2
(タ) 3
(ナ) 4
(ハ) 5
(マ) 6
(ヤ) 7
(ラ) 8
(ワ) 9