順天堂大学数学2013年第1問

四角に適する解答をマークせよ。

(1) 初項が共通で公比の異なる二つの無限等比数列 $\{a_n\}$ 、 $\{b_n\}$ がありそれぞれの無限級数は6と4に収束する。またそれぞれの項の比を各項とする無限等比数列 $\left\{\dfrac{b_n}{a_n}\right\}$ の無限級数は3に収束する。 $a_1=b_1=\dfrac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウ}}$ 、数列 $\{a_n\}$ の公比は $\dfrac{\fbox{エ}}{\fbox{オ}}$ 、数列 $\{b_n\}$ の公比は $\dfrac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}$ である。
(2) $x=\cfrac{2}{1+{\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cdots}}}}}$ のように分数を無限に連ねた連分数を考える。
この連分数の値が求まることが知られている。
$y=\cfrac{1}{2+{\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cdots}}}}$ とすると $y$ は $ay^2+by+c=0$ を満たす。
ただし $a\gt 0$ 、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の最大公約数は1とする。
このとき $a=\fbox{ア}$ 、 $b=\fbox{イ}$ 、 $c=\fbox{ウエ}$ であり、
$y=\fbox{オカ}+\sqrt{\fbox{キ}}$ となるので、 $x=\sqrt{\fbox{ク}}$ となる。
(3) 方程式 $x\log_e2^x-x\log_e6+\log_e9-\log_e4=0$ の解を $\alpha$ 、 $\beta$ とすると、
$2^{\alpha}=\fbox{ア}$ 、 $2^{\beta}=\dfrac{\fbox{イ}}{\fbox{ウ}}$ となる。
(4) 行列 $A$ による移動をおこない、次に $x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $q$ 移動する平行移動を考える。
この移動により点 $(1,~0)$ は点 $(5,~6)$ に、点 $(0,~1)$ は点 $(6,-1)$ に、 $点(1,~1)$ は点 $(9,~3)$ にそれぞれ移動した。
このとき $A=\left(\begin{matrix}\fbox{ア}&\fbox{イ}\\\fbox{ウ}&\fbox{エオ}\end{matrix}\right)$ 、 $p=\fbox{カ}$ 、 $q=\fbox{キ}$ である。
(5) 正五角形 $\text{BCDEF}$ を底面として持つすべての辺の長さが2の五角錐 $\text{ABCDEF}$ について考える。対角線 $\text{BE}$ と $\text{CF}$ の交点を $\text{G}$ とおくと $\triangle{\text{BCF}}$ と $\triangle{\text{GFB}}$ は相似になる。このことより
$\text{BE}=\fbox{ア}+\sqrt{\fbox{イ}}$ 、 $\text{BG}=\fbox{ウエ}+\sqrt{\fbox{オ}}$ となる。
これより、 $\cos\dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{\fbox{カキ}+\sqrt{\fbox{ク}}}{\fbox{ケ}}$ となる。
頂点 $\text{A}$ から底面に下した垂線を $\text{AO}$ とおく。このとき、
$\text{OB}^2=\dfrac{\fbox{コ}\sqrt{\fbox{サ}}+\fbox{シス}}{\fbox{セ}}$ 、
$\text{OA}^2=\dfrac{\fbox{ソタ}\sqrt{\fbox{チ}}+\fbox{ツテ}}{\fbox{ト}}$ 、
$\overrightarrow{\text{AB}}\cdot\overrightarrow{\text{AD}}=\fbox{ナ}-\sqrt{\fbox{ニ}}$ となる。