順天堂大学数学2013年第1問
四角に適する解答をマークせよ。
- (1) 初項が共通で公比の異なる二つの無限等比数列$\{a_n\}$、$\{b_n\}$がありそれぞれの無限級数は6と4に収束する。またそれぞれの項の比を各項とする無限等比数列$\left\{\dfrac{b_n}{a_n}\right\}$の無限級数は3に収束する。$a_1=b_1=\dfrac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウ}}$、数列$\{a_n\}$の公比は$\dfrac{\fbox{エ}}{\fbox{オ}}$、数列$\{b_n\}$の公比は$\dfrac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}$である。
- (2) $x=\cfrac{2}{1+{\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cdots}}}}}$のように分数を無限に連ねた連分数を考える。
この連分数の値が求まることが知られている。
$y=\cfrac{1}{2+{\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cdots}}}}$とすると$y$は$ay^2+by+c=0$を満たす。
ただし$a\gt 0$、$a$、$b$、$c$の最大公約数は1とする。
このとき$a=\fbox{ア}$、$b=\fbox{イ}$、$c=\fbox{ウエ}$であり、
$y=\fbox{オカ}+\sqrt{\fbox{キ}}$となるので、$x=\sqrt{\fbox{ク}}$となる。 - (3) 方程式$x\log_e2^x-x\log_e6+\log_e9-\log_e4=0$の解を$\alpha$、$\beta$とすると、
$2^{\alpha}=\fbox{ア}$、$2^{\beta}=\dfrac{\fbox{イ}}{\fbox{ウ}}$となる。 - (4) 行列$A$による移動をおこない、次に$x$軸方向に$p$、$y$軸方向に$q$移動する平行移動を考える。
この移動により点$(1,~0)$は点$(5,~6)$に、点$(0,~1)$は点$(6,-1)$に、$点(1,~1)$は点$(9,~3)$にそれぞれ移動した。
このとき$A=\left(\begin{matrix}\fbox{ア}&\fbox{イ}\\\fbox{ウ}&\fbox{エオ}\end{matrix}\right)$、$p=\fbox{カ}$、$q=\fbox{キ}$である。 - (5) 正五角形$\text{BCDEF}$を底面として持つすべての辺の長さが2の五角錐$\text{ABCDEF}$について考える。対角線$\text{BE}$と$\text{CF}$の交点を$\text{G}$とおくと$\triangle{\text{BCF}}$と$\triangle{\text{GFB}}$は相似になる。このことより
$\text{BE}=\fbox{ア}+\sqrt{\fbox{イ}}$、$\text{BG}=\fbox{ウエ}+\sqrt{\fbox{オ}}$となる。
これより、$\cos\dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{\fbox{カキ}+\sqrt{\fbox{ク}}}{\fbox{ケ}}$となる。
頂点$\text{A}$から底面に下した垂線を$\text{AO}$とおく。このとき、
$\text{OB}^2=\dfrac{\fbox{コ}\sqrt{\fbox{サ}}+\fbox{シス}}{\fbox{セ}}$、
$\text{OA}^2=\dfrac{\fbox{ソタ}\sqrt{\fbox{チ}}+\fbox{ツテ}}{\fbox{ト}}$、
$\overrightarrow{\text{AB}}\cdot\overrightarrow{\text{AD}}=\fbox{ナ}-\sqrt{\fbox{ニ}}$となる。