順天堂大学数学2012年第1問

四角に適する解答をマークせよ。ただし、それぞれの問題で同じ記号の四角には同一の値がはいる。

(1) さいころを3回投げたとき、出た目の積について確率を考える。
3の倍数になる確率は $\dfrac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウエ}}$ であり、奇数でかつ3の倍数にならない確率は $\dfrac{\fbox{オ}}{\fbox{カキ}}$ である。これなどによって、6の倍数になる確率は $\dfrac{\fbox{クケコ}}{\fbox{サシス}}$ である。
(2) $y=|ax^2+bx+c|+dx^2+ex+f$ は、区間 $\Big[\fbox{アイ},~\fbox{ウ}\Big]$ では $y=-(x+1)(x-5)$ となり、それ以外の区間では $y=3(x+1)(x-1)$ となる。
このとき $a=\fbox{エ}$ 、 $b=\fbox{オカ}$ 、 $c=\fbox{キク}$ 、 $d=\fbox{ケ}$ 、 $e=\fbox{コ}$ 、 $f=\fbox{サ}$ である。
(3) $x$ 軸を準線とし $y=x$ に $(3,~3)$ で接している放物線がある。焦点の座標は $(\fbox{ア},\fbox{イ})$ であり、放物線の方程式を $y=ax^2+bx+c$ とすると、 $a=\dfrac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}$ 、 $b=\fbox{オ}$ 、 $c=\dfrac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}$ である。
(4) 行列 $A$ と行列 $B=\dbinom{1}{1}$ の積が $AB=\dbinom{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{2}{3}}$ となり、行列 $A$ と行列 $C=\dbinom{1}{-1}$ の積が、 $AC=\dbinom{\dfrac{4}{3}}{\dfrac{-2}{3}}$ となる。このとき $A(B+C)=\dbinom{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}$ であり、 $A(B-C)=\dbinom{\dfrac{\fbox{ウエ}}{\fbox{オ}}}{\dfrac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}}$ であるので、 $A= \begin{pmatrix} \fbox{ク} & \dfrac{\fbox{ケコ}}{\fbox{サ}} \\ \fbox{シ} & \dfrac{\fbox{ス}}{\fbox{セ}} \end{pmatrix}$ である。
行列 $D=\dbinom{7}{3}=\fbox{ソ}B+\fbox{タ}C$ であることに注意すると、 $AD=\dbinom{\fbox{チ}}{\fbox{ツ}}$ となる。 $A^2D,A^3D,A^4D,\cdots$ と求めていくと $\fbox{テ}B+\fbox{ト}C=\dbinom{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}}$ に近づいていく。
(5) $y=x^2$ で表される放物線上の点 $\text{A}(t,~t^2)$ における法線の方程式は $y=-\dfrac{1}{2t}x+\dfrac{1}{2}+t^2$ と表される。同様に $(t+h,~(t+h)^2)$ における法線をとり、二つの法線の交点を考える。 $h\to0$ としたときの交点を、点 $\text{A}$ の曲率中心と呼ぶ。点 $\text{A}(t,~t^2)$ での曲率中心は $(x(t),~y(t))=(at^b,~ct^d+e)$ とおくと、 $a=\fbox{アイ}$ 、 $b=\fbox{ウ}$ 、 $c=\fbox{エ}$ 、 $d=\fbox{オ}$ 、 $e=\dfrac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}$ であり、 $\displaystyle\int_0^{\sqrt{2}}\sqrt{\bigg(\frac{dx}{dt}\bigg)^2+\bigg(\frac{dy}{dt}\bigg)^2}dt=\fbox{クケ}$ であり、これは $t$ を $0$ から、 $\sqrt2$ まで動かしたときの曲率中心の軌跡の長さを表している。