順天堂大学数学2012年第3問

次の問いに答えよ。

(1) 虚数$\alpha=a+bi$に対し虚数$a-bi$のことを何というか。
(2) $f(x)$を$x$の実数係数の$n$次多項式とする。虚数$\alpha=a+bi$に対し$f(\alpha)=0$とする。このとき、多項式$f(x)$は$x^2-2ax+(a^2+b^2)$で割り切れることを示せ。
(3) $f(x)$を最高次の係数が1である$x$の実数係数の$n$次多項式とする。このとき、$n$個の$x+\alpha$ ($\alpha$は複素数)の形の因子の積で表せることが知られている。このとき、$\alpha$が虚数であるような因子の数は常に偶数となることを示せ。