金沢医科大学数学2013年第2問

$\text{O}$ を原点とする座標空間に2点

$\text{A}(10,~0,~0)$ 、

$\text{B}(5,~10,~0)$ がある。三角形

$\text{OAB}$ において、辺

$\text{OA}$ 、

$\text{AB}$ 、

$\text{OB}$ の中点をそれぞれ

$\text{P}$ 、

$\text{Q}$ 、

$\text{R}$ とする。このとき、空間の点

$\text{S}(a,~b,~c)$ をとり、四面体

$\text{SPQR}$ を

$\text{SP}=5$ 、

$\text{SQ}=\text{SR}=\dfrac{5\sqrt{5}}{2}$ となるように作る。ただし、

$c\gt 0$ とする。点

$\text{O}$ 、

$\text{A}$ 、

$\text{B}$ からそれぞれ3辺

$\text{PR}$ 、

$\text{PQ}$ 、

$\text{QR}$ に垂線を下ろす。垂線とそれら3辺

$\text{PR}$ 、

$\text{PQ}$ 、

$\text{QR}$ との交点をそれぞれ

$\text{E}$ 、

$\text{F}$ 、

$\text{G}$ とすると、これらの点の座標は

$\text{E}\left(\fbox{キ},~\fbox{ク},~0\right),~\text{F}\left(\fbox{ケ},~\fbox{ク},~0\right),~\text{G}(5,~5,~0)$ となる。そこで、

$\overrightarrow{\text{ES}}\cdot\overrightarrow{\text{ES}}=\overrightarrow{\text{FS}}\cdot\overrightarrow{\text{FS}}=\fbox{コサ}$ および

$\overrightarrow{\text{GS}}\cdot\overrightarrow{\text{GS}}=25$ を利用すれば、

$a$ 、

$b$ 、

$c$ の値が求まり、

$\overrightarrow{\text{ES}}\cdot\overrightarrow{\text{FS}}=\fbox{シス}$ および

$\overrightarrow{\text{FS}}\cdot\overrightarrow{\text{GS}}=\dfrac{\fbox{セソ}}{2}$ がわかる。