$\text{O}$を原点とする座標空間に2点$\text{A}(10,~0,~0)$、$\text{B}(5,~10,~0)$がある。三角形$\text{OAB}$において、辺$\text{OA}$、$\text{AB}$、$\text{OB}$の中点をそれぞれ$\text{P}$、$\text{Q}$、$\text{R}$とする。このとき、空間の点$\text{S}(a,~b,~c) $をとり、四面体$\text{SPQR}$を$\text{SP}=5$、$\text{SQ}=\text{SR}=\dfrac{5\sqrt{5}}{2}$となるように作る。ただし、$c\gt 0$とする。点$\text{O}$、$\text{A}$、$\text{B}$からそれぞれ3辺$\text{PR}$、$\text{PQ}$、$\text{QR}$に垂線を下ろす。垂線とそれら3辺$\text{PR}$、$\text{PQ}$、$\text{QR}$との交点をそれぞれ$\text{E}$、$\text{F}$、$\text{G}$とすると、これらの点の座標は \[\text{E}\left(\fbox{キ},~\fbox{ク},~0\right),~\text{F}\left(\fbox{ケ},~\fbox{ク},~0\right),~\text{G}(5,~5,~0)\] となる。そこで、$\overrightarrow{\text{ES}}\cdot\overrightarrow{\text{ES}}=\overrightarrow{\text{FS}}\cdot\overrightarrow{\text{FS}}=\fbox{コサ}$および$\overrightarrow{\text{GS}}\cdot\overrightarrow{\text{GS}}=25$を利用すれば、$a$、$b$、$c$の値が求まり、$\overrightarrow{\text{ES}}\cdot\overrightarrow{\text{FS}}=\fbox{シス}$および$\overrightarrow{\text{FS}}\cdot\overrightarrow{\text{GS}}=\dfrac{\fbox{セソ}}{2}$がわかる。