関西医科大学数学2013年第1問

(1)~(6)の四角の中に、あてはまる数、角度、整式、不等式、記号、語句などを記入せよ。

(1) $\alpha$ 、 $\beta$ が $\alpha +\beta =3$ 、 $\alpha \beta=1$ を満たすとき、 $α^3+β^3=\fbox{ア}$ 、 $\dfrac{\beta}{\alpha}+\dfrac{\alpha}{\beta}=\fbox{イ}$ 、 $|\alpha -\beta|=\fbox{ウ}$ である。ただし、記号 $|a|$ は実数 $a$ の絶対値を表す。
(2)次の式を因数分解せよ。
- (i) $9x^2-30xy-24y^2=\fbox{エ}$
- (ii) $(x+y)^3-(x-y)^3=\fbox{オ}$
(3)方程式 $8^x-2^{2x+1}-2^x+2=0$ のすべての解を $\fbox{カ}$ に記せ。
(4) $x+2y=4$ 、 $x\geqq 0$ 、 $y\geqq 0$ とする。このとき関数 $\log_{\frac{1}{2}}(6xy+4y^2+1)$ は、 $x=\fbox{キ}$ において最大値 $\fbox{ク}$ をとり、 $x=\fbox{ケ}$ において最小値 $\fbox{コ}$ をとる。
(5)座標平面において、動点 $\text{P}(x,~y)$ が2点 $\text{A}(0,~0)$ 、 $\text{B}(0,~3)$ からの距離の比を $2:1$ に保ちながら動くときの軌跡を $C$ とする $(\text{PA}:\text{PB}=2:1)$ 。曲線 $C$ の方程式は $\fbox{サ}$ である。また、第1象限において、直線 $y=mx$ と曲線 $C$ とが接するとき、 $m=\fbox{シ}$ となる。
(6)白玉4個、赤玉4個、青玉4個の計12個の玉が入っている袋から、よくかき混ぜて、同時に3個の玉を取り出す。このとき、
- (i)取り出した3個がすべて同じ色である確率は $\fbox{ス}$ である。
- (ii)取り出した3個のうち2個が同じ色で、他の1個が異なる色である確率は $\fbox{セ}$ である。