関西医科大学数学2012年第1問

(1)～(6)の四角の中に、あてはまる数、角度、整式、不等式、記号、語句などを記入せよ。

(1) 以下の括弧に正しい数を記入せよ。
- (ⅰ) $a=\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ 、 $b=\dfrac{1}{\sqrt3-\sqrt2}$ であるとき、 $a+b=\fbox{ア}$ 、 $a^2+ab+b^2=\fbox{イ}$
- (ⅱ) $x^4+y^4=(x+y)^4+\fbox{ウ}xy(x+y)^2+\fbox{エ}x^2y^2$
(2) 次の式を因数分解せよ。
- (ⅰ) $15x^2+2xy-24y^2=\fbox{オ}$
- (ⅱ) $(ac+bd)^2-(ad+bc)^2=\fbox{カ}$
(3) ベクトル $\vec{p}=(1, 3)$ 、 $\vec{q}=(1, -1)$ と実数 $t$ によって、 $\vec{a}=\vec{p}+t\vec{q}$ を定義する。 $t$ の値が変化するとき、 $\vec{a}$ の大きさは $t=\fbox{キ}$ において最小になる。そのときのベクトル $\vec{a}$ とベクトル $\vec{p}$ のなす角は $30^\circ$ より $\fbox{ク}$ 。ただし、 $\fbox{ク}$ には「大きい」または「小さい」のいずれかを記入せよ。
(4) $n$ 、 $m$ はいずれも自然数とし、 $a_n=1+2+3+\cdots+n$ とする。このとき $\lim_{n \to \infty}\bigg(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}\bigg)=\fbox{ケ}$ $\lim_{m \to \infty}\bigg(a_1\times\dfrac{1}{a_2}\bigg)\times\bigg(a_3\times\dfrac{1}{a_4}\bigg)\times\cdots\times\bigg(a_{2m-1}\times\dfrac{1}{a_{2m}}\bigg)=\fbox{コ}$
(5) 3辺の長さがそれぞれ $2$ 、 $\sqrt{2}-1$ 、 $\sqrt5$ の三角形がある。この三角形の最大角の大きさは $\fbox{サ}$ であり、三角形の面積は $\fbox{シ}$ である。また、三角形に内接する円の半径は $\fbox{ス}$ である。
(6) $x=1+\sqrt2$ とする。実数 $y$ に対して $x+y$ 、 $xy$ がともに有理数ならば、 $y=\fbox{セ}$ である。また、 $x^2,x^3,x^4,\cdots$ の中に有理数が $\fbox{ソ}$ 。ただし、 $\fbox{ソ}$ には「ある」または「ない」のいずれかを記入せよ。