関西医科大学数学2012年第1問
(1)～(6)の四角の中に、あてはまる数、角度、整式、不等式、記号、語句などを記入せよ。
- (1) 以下の括弧に正しい数を記入せよ。
- (ⅰ) $a=\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$、$b=\dfrac{1}{\sqrt3-\sqrt2}$であるとき、$a+b=\fbox{ア}$、$a^2+ab+b^2=\fbox{イ}$
- (ⅱ) $x^4+y^4=(x+y)^4+\fbox{ウ}xy(x+y)^2+\fbox{エ}x^2y^2$
- (2) 次の式を因数分解せよ。
- (ⅰ) $15x^2+2xy-24y^2=\fbox{オ}$
- (ⅱ) $(ac+bd)^2-(ad+bc)^2=\fbox{カ}$
- (3) ベクトル$\vec{p}=(1, 3)$、$\vec{q}=(1, -1)$と実数$t$ によって、$\vec{a}=\vec{p}+t\vec{q}$を定義する。$t$ の値が変化するとき、$\vec{a}$の大きさは$t=\fbox{キ}$において最小になる。そのときのベクトル$\vec{a}$とベクトル$\vec{p}$のなす角は$30^\circ$より$\fbox{ク}$。ただし、$\fbox{ク}$には「大きい」または「小さい」のいずれかを記入せよ。
- (4) $n$、$m$はいずれも自然数とし、$a_n=1+2+3+\cdots+n$とする。このとき \[\lim_{n \to \infty}\bigg(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}\bigg)=\fbox{ケ}\] \[\lim_{m \to \infty}\bigg(a_1\times\dfrac{1}{a_2}\bigg)\times\bigg(a_3\times\dfrac{1}{a_4}\bigg)\times\cdots\times\bigg(a_{2m-1}\times\dfrac{1}{a_{2m}}\bigg)=\fbox{コ}\]
- (5) 3辺の長さがそれぞれ$2$、$\sqrt{2}-1$、$\sqrt5$の三角形がある。この三角形の最大角の大きさは$\fbox{サ}$であり、三角形の面積は$\fbox{シ}$である。また、三角形に内接する円の半径は$\fbox{ス}$である。
- (6) $x=1+\sqrt2$とする。 実数$y$に対して$x+y$、$xy$がともに有理数ならば、$y=\fbox{セ}$である。また、$x^2,x^3,x^4,\cdots$の中に有理数が$\fbox{ソ}$。ただし、$\fbox{ソ}$には「ある」または「ない」のいずれかを記入せよ。