関西医科大学物理2012年第1問
下の文を読んで、下記の(1)から(5)の問いに答えよ。ただし万有引力定数をGとする。また太陽の公転、自転の影響は無視してよいとする。
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(1) 太陽S(質量M)のまわりを半径aで円運動をする物体C(質量m)がある。この物体Cにある速度を与えて太陽の引力圏を脱出させようとしたとき、脱出に必要な最小速度V0を求めよ。ただし簡単のために太陽の半径はaに比べて十分小さく、無視してよいとする。
次に、もっと一般的に太陽S(質量M)のまわりを物体C(質量m)がまわるための条件を考えてみよう。ケプラーの第一法則によれば、物体が太陽の引力圏から脱出しないときには図のような楕円軌道を描く。近日点(太陽に最も近い点)Aの太陽Sからの距離a、Aにおける速度Vaが与えられているとき、遠日点(太陽に最も遠い点)Bの太陽Sからの距離bを求めてみよう。簡単のためにaに比べて太陽の半径は無視できるとする。
- (2) 遠日点Bでの物体Cの速度をVbとするとき、エネルギー保存則によりa、b、Va、Vbの間に成り立つ関係を求めよ。
- (3) ケプラーの第二法則によれば、短い時間Δtの間に物体Cと太陽Sとを結ぶ線分(動径)が描く面積は一定である。この法則を用いてa、b、Va、Vbの間に成り立つ関係を求めよ。
- (4) (2)、(3)の関係を用いて、bを求めよ。
- (5) 物体Cが太陽Sの周りを楕円運動をするためには、Vaは(1)で求めたV0とどのような関係になければならないか。
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