川崎医科大学数学2013年第3問
$f(x)=e^x\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-{\cos}x\right)$とする。
- (1)$a_0=0$とする。また、$f(x)=0$の負の解のうち、絶対値の最も小さい解を$a_1$、次に小さい解を$a_2$とする。
- (i) $a_1=-\dfrac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}\pi$、$a_2=-\dfrac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}\pi$である。
- (ii) $\displaystyle\int e^x{\cos}xdx=\dfrac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}}e^x({\sin}x\fbox{キ}{\cos}x)+C$ が成り立つ。ただし、$C$は積分定数である。ここで、$\fbox{キ}$は符号$+$、$-$のいずれかである。
- (iii) $A$、$B$、$D$、$E$を定数として、
\[\displaystyle\int_{a_1}^{a_0}|f(x)|dx=\dfrac{1}{2}(A-\sqrt{B}+\sqrt{D}e^{E\pi})\]
と表すとき、
\[A=\fbox{ク},~B=\fbox{ケ},~D=\fbox{コ},~E=-\dfrac{\fbox{サ}}{\fbox{シ}}\]
である。
また、$F$、$G$を定数として、$\displaystyle\int_{a_2}^{a_1}|f(x)|dx=Fe^{G\pi}$と表すとき、 \[F=\dfrac{\sqrt{\fbox{ス}}}{2},~G=-\dfrac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}}\] である。
- (2) $f’(x)=0$を満たす負の$x$を、絶対値の小さい順に$b_1,b_2,\cdots$とするとき、
\[b_1=-\dfrac{\fbox{タチ}}{\fbox{ツテ}}\pi,~b_2=-\dfrac{\fbox{トナ}}{\fbox{ニヌ}}\pi\]
である。また、$f(x)$は$n$が偶数のとき$x=b_n$で$\fbox{ネ}$をとり、$n$が奇数のとき$x=b_n$で$\fbox{ノ}$をとる。ここで、$\fbox{ネ}$、$\fbox{ノ}$は、それぞれ、極大値、極小値のいずれかであり、
極大値である場合は、解答欄の(8)を、
極小値である場合は、解答欄の(9)を
マークしなさい。