四面体$\text{OABC}$を考える。$0\lt{l}\lt1$、$0\lt{m}\lt1$、$0\lt{n}\lt1$とする。線分$\text{OA}$を$l:(1-l)$に内分する点を$\text{P}$とし、線分$\text{OB}$を$m:(1-m)$に内分する点を$\text{Q}$とし、線分$\text{OC}$を$n:(1-n)$に内分する点を$\text{R}$とする。三角形$\text{ABC}$の重心を$\text{G}$とする。直線$\text{OG}$と、3点$\text{P}$、$\text{Q}$、$\text{R}$の定める平面の交点を$\text{T}$とする。
$\vec{a}=\overrightarrow{\text{OA}}$、$\vec{b}=\overrightarrow{\text{OB}}$、$\vec{c}=\overrightarrow{\text{OC}}$とする。

• (1) $\overrightarrow{\text{PQ}}$と$\overrightarrow{\text{PR}}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$を用いて \[\overrightarrow{\text{PQ}}=q_{1}l\vec{a}+q_{2}m\vec{b}+q_{3}n\vec{c}\] \[\overrightarrow{\text{PR}}=r_{1}l\vec{a}+r_{2}m\vec{b}+r_{3}n\vec{c}\] と表すとき、係数$q_{1}$、$q_{2}$、$q_{3}$、$r_{1}$、$r_{2}$、$r_{3}$は
  $q_{1}=－\fbox{ア}$、$q_{2}=\fbox{イ}$、$q_{3}=\fbox{ウ}$、$r_{1}=－\fbox{エ}$、$r_{2}=\fbox{オ}$、$r_{3}=\fbox{カ}$である。
  $t=\dfrac{\text{OT}}{\text{OG}}$とするとき
  \[\dfrac{1}{t}=\dfrac{1}{\fbox{キ}l}+\dfrac{1}{\fbox{ク}m}+\dfrac{1}{\fbox{ケ}n}\]である。
• (2) $\text{OB}=1$、$\angle{\text{OBA}}=60^\circ$、$\angle{\text{OCA}}=60^\circ$、$\text{AB}=1$、$\text{BC}=\sqrt{2}$、$\angle{\text{ABC}}=45^\circ$、$l=\dfrac{1}{2}$、$m=\dfrac{1}{3}$、$n=\dfrac{1}{4}$とする。
  • (i) $|\vec{a}|=\fbox{コ}$、$|\vec{b}|=\fbox{サ}$、$|\vec{c}|=\fbox{シ}$、$\vec{a}\cdot\vec{b}=\dfrac{1}{\fbox{ス}}$、$\vec{b}\cdot\vec{c}=\fbox{セ}$、$\vec{c}\cdot\vec{a}=\dfrac{1}{\fbox{ソ}}$である。
  • (ii) $|\overrightarrow{\text{OT}}|=\frac{\fbox{タ}}{\fbox{チ}}\sqrt{\fbox{ツ}}$、$|\overrightarrow{\text{TA}}|=\frac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}}\sqrt{\fbox{ナ}}$、$|\overrightarrow{\text{TB}}|=\frac{\fbox{ニ}}{\fbox{ヌ}}\sqrt{\fbox{ネノ}}$、$\overrightarrow{\text{TA}}\cdot\overrightarrow{\text{TB}}=\frac{\fbox{ハヒ}}{\fbox{フヘ}}$である。 三角形$\text{TAB}$の面積は$\dfrac{1}{\fbox{ホマ}}\sqrt{\fbox{ミム}}$である。