川崎医科大学数学2012年第1問
四面体OABCを考える。0<l<1、0<m<1、0<n<1とする。線分OAをl:(1−l)に内分する点をPとし、線分OBをm:(1−m)に内分する点をQとし、線分OCをn:(1−n)に内分する点をRとする。三角形ABCの重心をGとする。直線OGと、3点P、Q、Rの定める平面の交点をTとする。
→a=→OA、→b=→OB、→c=→OCとする。
→a=→OA、→b=→OB、→c=→OCとする。
- (1) →PQと→PRを→a、→b、→cを用いて
→PQ=q1l→a+q2m→b+q3n→c
→PR=r1l→a+r2m→b+r3n→c
と表すとき、係数q1、q2、q3、r1、r2、r3は
q1=-ア、q2=イ、q3=ウ、r1=-エ、r2=オ、r3=カである。
t=OTOGとするとき
1t=1キl+1クm+1ケnである。 - (2) OB=1、∠OBA=60∘、∠OCA=60∘、AB=1、BC=√2、∠ABC=45∘、l=12、m=13、n=14とする。
- (i) |→a|=コ、|→b|=サ、|→c|=シ、→a⋅→b=1ス、→b⋅→c=セ、→c⋅→a=1ソである。
- (ii) |→OT|=タチ√ツ、|→TA|=テト√ナ、|→TB|=ニヌ√ネノ、→TA⋅→TB=ハヒフヘである。 三角形TABの面積は1ホマ√ミムである。