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川崎医科大学数学2012年第1問

四面体OABCを考える。0<l<10<m<10<n<1とする。線分OAl:(1l)に内分する点をPとし、線分OBm:(1m)に内分する点をQとし、線分OCn:(1n)に内分する点をRとする。三角形ABCの重心をGとする。直線OGと、3点PQRの定める平面の交点をTとする。
a=OAb=OBc=OCとする。
  • (1) PQPRabcを用いて PQ=q1la+q2mb+q3nc PR=r1la+r2mb+r3nc と表すとき、係数q1q2q3r1r2r3
    q1=q2=q3=r1=r2=r3=である。
    t=OTOGとするとき
    1t=1l+1m+1nである。
  • (2) OB=1OBA=60OCA=60AB=1BC=2ABC=45l=12m=13n=14とする。
    • (i) |a|=|b|=|c|=ab=1bc=ca=1である。
    • (ii) |OT|=|TA|=|TB|=ネノTATB=ハヒフヘである。 三角形TABの面積は1ホマミムである。