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慶應義塾大学数学2013年第1問

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。
  • (1) $3\sin\theta+\cos\theta=3$が成り立っているとき$\sin2\theta=\fbox{あ}$である。ただし$0\lt \theta\lt\dfrac{\pi}{2}$とする。
  • (2) ゼロでない実数$x$、$y$が関係式$7^{\frac{1}{x}}1=9$および$63^{\frac{1}{y}}=3$をみたしているとき$2x-y=\fbox{い}$である。
  • (3) 空間の3点$\text{A}(2,~0,~0)$、$\text{B}(0,~\sqrt{2},~0)$、$\text{C}(0,~0,~1)$を含む平面を$L$とする。
    • (i) $z$軸上の点$\text{Q}(0,~0,~z)$を通って平面$L$に垂直な直線と$L$との交点$\text{P}$の座標は \[\left(\fbox{う},\fbox{え},\fbox{お}\right)\] である。
    • (ii) 線分$\text{QP}$の長さは$\fbox{か}$である。
    • (iii) 点$\text{P}$が線分$\text{AB}$上にあるとき$\text{AP}:\text{PB}=\fbox{き}:\fbox{く}$である。