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慶應義塾大学数学2013年第4問

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。また、設問(1)に答えなさい。
cを正の実数として、xy平面における曲線Cx=f(y)=clogc+c2y2yc2y2 により定める。
  • (1) 曲線Cの概形を描きなさい。
  • (2) C上の点P(s, t)(ただしs>0)におけるCの接線l1の方程式をy=ax+bとするときatの式で表すとa=c2t2である。またl1x軸と交わる点をAとするときPA=である。
  • (3) 0<h<cに対して、曲線Chycに対する部分と、x軸、y軸、および直線x=f(h)で囲まれた図形をx軸のまわりに回転させて得られる回転体の体積をV(h)とする。このときlimh+0V(h)=である。
  • (4) C上の点P(s, t)(ただしs>0)におけるCの法線l2の方程式をy=αx+βとする。αβtの関数とみなすとき dαdt=1c2t2×dβdt=dαdt× が成り立つ。次にx>0を固定してαx+βtの関数とみなしてg(t)とおく。tが区間(0, c)を動くとき、g(t)t=2cにおいて最大値をとる。