慶應義塾大学数学2013年第4問
以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。また、設問(1)に答えなさい。
cを正の実数として、xy平面における曲線Cを x=f(y)=clogc+√c2−y2y−√c2−y2 により定める。
cを正の実数として、xy平面における曲線Cを x=f(y)=clogc+√c2−y2y−√c2−y2 により定める。
- (1) 曲線Cの概形を描きなさい。
- (2) C上の点P(s, t)(ただしs>0)におけるCの接線l1の方程式をy=ax+bとするときaをtの式で表すとa=あ√c2−t2である。またl1がx軸と交わる点をAとするときPA=いである。
- (3) 0<h<cに対して、曲線Cのh≦に対する部分と、x軸、y軸、および直線x=f(h)で囲まれた図形をx軸のまわりに回転させて得られる回転体の体積をV(h)とする。このとき\lim\limits_{h \to +0}V(h)=\fbox{う}である。
- (4) C上の点\text{P}(s,~t)(ただしs\gt 0)におけるCの法線l_2の方程式をy=\alpha x+\betaとする。\alpha、\betaをtの関数とみなすとき \dfrac{d\alpha}{dt}=\dfrac{1}{\sqrt{c^2-t^2}}\times\fbox{え}、\dfrac{d\beta}{dt}=\dfrac{d\alpha}{dt}\times\fbox{お} が成り立つ。次にx\gt 0を固定して\alpha x+\betaをtの関数とみなしてg(t)とおく。tが区間(0,~c)を動くとき、g(t)はt=\dfrac{2c}{\fbox{か}}において最大値\fbox{き}をとる。