慶應義塾大学数学2012年第1問

以下の文章の空欄に適切な数、式または行列を入れて文章を完成させなさい。ただし設問(2)において、適切な行列が複数個ある場合は、それらをすべて記入しなさい。

(1) $a_1=1$ 、 $a_2=4$ 、 $a_{n+2}=-a_{n+1}+2a_n~(n=1,2,3,\cdots)$ によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項は $a_n=\fbox{ア}$ である。
(2) 行列 $A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\\\end{array}\right)$ の表す1次変換により点 $\text{B}(1,1)$ と点 $\text{C}(1,0)$ はそれぞれ点 $\text{B}'$ と点 $\text{C}'$ に移されるとする。また $\text{O}(0,0)$ を原点とする。 $\overrightarrow{\text{OB}'}=2\overrightarrow{\text{OB}}$ 、かつ $\Delta\text{OB}'\text{C}'$ が正三角形となるような行列 $A$ をすべて求めると $A=\fbox{イ}$ である。
(3) 媒介変数 $t$ を用いて $\begin{cases}x=\dfrac{e^t+3e^{-t}}{2}\\ \\y=e^t-2e^{-t}\end{cases}$ と表される曲線 $C$ の方程式は $\fbox{ウ}x^2+\fbox{エ}xy+\fbox{オ}y^2=25$ である。
また曲線 $C$ の接線の傾きは、 $t=\fbox{カ}$ に対応する点において-2となる。
(4) $\alpha\gt1$ を実数とする。 $0\leqq{x}\leqq1$ を定義域とする関数 $f(x)=x-x^\alpha$ が最大値をとる点を $x(\alpha)$ とすると $x(\alpha)=\fbox{キ}$ である。また $\displaystyle\lim_{\alpha\to1+0}x(\alpha)=\fbox{ク}$ である。