慶應義塾大学数学2012年第1問
以下の文章の空欄に適切な数、式または行列を入れて文章を完成させなさい。ただし設問(2)において、適切な行列が複数個ある場合は、それらをすべて記入しなさい。
- (1) $a_1=1$、$a_2=4$、$a_{n+2}=-a_{n+1}+2a_n~(n=1,2,3,\cdots)$によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\fbox{ア}$である。
- (2) 行列$A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\\\end{array}\right)$の表す1次変換により点$\text{B}(1,1)$と点$\text{C}(1,0)$はそれぞれ点$\text{B}'$と点$\text{C}'$に移されるとする。また$\text{O}(0,0)$を原点とする。$\overrightarrow{\text{OB}'}=2\overrightarrow{\text{OB}}$、かつ$\Delta\text{OB}'\text{C}'$が正三角形となるような行列$A$をすべて求めると$A=\fbox{イ}$である。
- (3) 媒介変数$t$を用いて
\[\begin{cases}x=\dfrac{e^t+3e^{-t}}{2}\\ \\y=e^t-2e^{-t}\end{cases}\]
と表される曲線$C$の方程式は
\[\fbox{ウ}x^2+\fbox{エ}xy+\fbox{オ}y^2=25\]
である。
また曲線$C$の接線の傾きは、$t=\fbox{カ}$に対応する点において-2となる。 - (4) $\alpha\gt1$を実数とする。$0\leqq{x}\leqq1$を定義域とする関数$f(x)=x-x^\alpha$が最大値をとる点を$x(\alpha)$とすると$x(\alpha)=\fbox{キ}$である。また$\displaystyle\lim_{\alpha\to1+0}x(\alpha)=\fbox{ク}$である。