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慶應義塾大学数学2012年第4問

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。
  • (1) 0α<βπ2かつR>0とする。極座標(r,θ)に関する条件 0rR, αθβ により定まる図形をx軸のまわりに回転させて得られる立体の体積をTとする。TαβRを用いた式で表すと T= である。
  • (2) 極方程式r=f(θ) (0θα)で表される曲線Cと、θ=αで表される直線lおよびx軸の正の部分で囲まれた図形をSとする。ただし0<α<π2とし、関数f(θ)は連続かつf(θ)>0をみたし、0θαにおいて増加または減少または定数とする。
    Sx軸のまわりに回転させて得られる立体の体積をV(α)とすると ddαV(α)= であり、したがって V(α)= である。またSを直線lのまわりに回転させて得られる立体の体積をW(α)とすると W(α)= である。
  • (3) (2)においてf(θ)=3cosθとするときV(π4)W(π4)の値を求めると V(π4)=, W(π4)= である。