摩擦に関する以下の問に答えよ。必要ならば以下の公式を用いよ。 $$\sin(A+B)=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}$$ $$\cos(A+B)=\cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}$$ $$\tan(A+B)=\dfrac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}$$ 斜面に物体をのせ、斜面の傾斜角度をゆっくりと大きくしていったところ、ある角度$\phi$で物体が滑り出した。重力加速度の大きさを$g$、物体と斜面との静止摩擦係数を$\mu$、物体の質量を$m$とする。

• 問1 この角度$\phi$の名称を書け。
• 問2 $\phi$を用いて$\mu$を表せ。

図1に示すように、傾斜角$\theta$の斜面に物体$m$を置き、物体に水平方向の力$F$を加え、物体を斜面に沿って上向きに動かす場合を考える。物体と斜面との静止摩擦係数を$\mu$、物体に働く重力の大きさを$W(=mg)$とし、$W\gt0$、$F\gt0$とする。力$F=0$のとき、物体は斜面上に静止しており、静止摩擦係数と動摩擦係数は等しいと仮定する。

• 問3 $F$を少しずつ大きくしていったところ、ある大きさの時、物体が動き始めた。このときの$F$を$W$、$\theta$、$\phi$を用いて表せ。
• 問4 問3で求めた$F$を物体に加え、物体を斜面に沿ってゆっくり上向きに動かした。この過程における仕事の効率、すなわち、物体が得た位置エネルギーと物体を動かすために力$F$がした仕事との比(0～1の値になる)を$\theta$、$\phi$を用いて表せ。
• 問5 $\theta=\phi$のとき、仕事の効率の最大値を有効数字2桁で求めよ。ただし、$0.01\leqq\tan\phi\leqq1$とする。
• 問6 図2に示すように、物体$m$が静止している状態で水平な力$f$を少しずつ大きくしながら物体に加えたところ、物体が斜面に沿って下向きに動き始めた。このときの$f$を$W$、$\theta$、$\phi$を用いて表せ。