実数$a$を$0\lt{a}\lt1$の定数として、$a\leqq|\cos\theta|$、$0\leqq\theta\leqq\pi$ をみたす $\theta$ を定義域とする関数 $y=a^2+4a\cos\theta+\cos2\theta$ の値域を考える。

• (1) $\cos\theta=t$ とおいて、$y$ を $t$ で表せ。
• (2) $a=\dfrac{1}{2}$のとき、関数 $y$ の定義域は、$\theta$ の2つの区間$\text{A}:0\leqq\theta\leqq\theta_1$および$\text{B}:\theta_2\leqq\theta\leqq\pi$となる。定義域のこの2つの区間$\text{A}$、$\text{B}$を表す$\theta_1$、$\theta_2$の値を求めよ。
  このとき、関数$y$の値域も2つの区間になり、$\theta$が区間$\text{A}$にあれば$y$は区間$\text{C}:y_1\leqq{y}\leqq{y_2}$の値をとり$\theta$が区間$\text{B}$にあれば$y$は区間$\text{D}:y_3\leqq{y}\leqq{y_4}$の値をとる。値域のこの2つの区間$\text{C}$、$\text{D}$を表す$y_1$、$y_2$、$y_3$、$y_4$の値を求めよ。
• (3) 関数 $y$ の値域が2つの区間になるように $a$ の値を定めるとき、$a$ がとりうる値の範囲を求め、そのときの値域を $a$ を用いて表せ。
• (4) 関数 $y$ の値域が1つの区間になるように $a$ の値を定めるとき、$a$ がとりうる値の範囲を求め、そのときの値域を $a$ を用いて表せ。